已知f （x）=2sin（x+θ2）cos（x+θ2）+23cos2（x+θ2）-3．（1）化简f （x）的解析式；（2）若0≤θ≤π，求θ使函数f （x）为偶

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已知f （x）=2sin（x+θ2）cos（x+θ2）+23cos2（x+θ2）-3．（1）化简f （x）的解析式；（2）若0≤θ≤π，求θ使函数f （x）为偶

题型：解答题难度：一般来源：不详
已知f （x）=2sin（x+
θ
2
）cos（x+
θ
2
）+2


3
cos2（x+
θ
2
）-


3
．
（1）化简f （x）的解析式；
（2）若0≤θ≤π，求θ使函数f （x）为偶函数；
（3）在（2）成立的条件下，求满足f （x）=1，x∈[-π，π]的x的集合．
答案
（1）f（x）=sin（2x+θ）+2


3
×
1+cos(2x+θ)
2
-


3

=sin（2x+θ）+


3
cos（2x+θ）
=2sin（2x+θ+
π
3
）；
（2）要使f （x）为偶函数，则必有f（-x）=f（x），
∴2sin（-2x+θ+
π
3
）=2sin（2x+θ+
π
3
），即-sin[2x-（θ+
π
3
）]=sin（2x+θ+
π
3
），
整理得：-sin2xcos（θ+
π
3
）+cos2xsin（θ+
π
3
）=sin2xcos（θ+
π
3
）+cos2xsin（θ+
π
3
）
即2sin2xcos（θ+
π
3
）=0对x∈R恒成立，
∴cos（θ+
π
3
）=0，又0≤θ≤π，
则θ=
π
6
；
（3）当θ=
π
6
时，f（x）=2sin（2x+
π
2
）=2cos2x=1，
∴cos2x=
1
2
，
∵x∈[-π，π]，
∴x=±
π
6
，
则x的集合为{x|x=±
π
6
}．
举一反三
已知函数f(x)=
a×2x-1
1+2x
(a∈R)．
（I）若a=2，且f(x)=-
3


2
-2
2
，求x的值；
（II）若f（x）为奇函数，求a的值；
（III）当a=5时，函数f（x）的图象是否存在对称中心，若存在，求其对称中心；若不存在，请说明理由．
题型：解答题难度：一般| 查看答案
（理）函数f(x)=
m-2sinx
cosx
在区间(0，
π
2
)上单调递减，则实数m的取值范围为______．
题型：填空题难度：一般| 查看答案
已知数列{an}，定义其倒均数是Vn=
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
n
，n∈N*．
（1）若数列{an}倒均数是Vn=
n+2
2
，求an；
（2）若等比数列{bn}的公比q=2，其倒均数为Vn，问是否存在正整数m，使得当n≥m（n∈N*）时，nVn＜
15
8b1
恒成立，若存在，求出m的最小值；若不存在，说明理由．
题型：解答题难度：一般| 查看答案
已知y=f（x）是定义域为[-6，6]的奇函数，且当x∈[0，3]时是一次函数，当x∈[3，6]时是二次函数，又f（6）=2，当x∈[3，6]时，f（x）≤f（5）=3．求f（x）的解析式．
题型：解答题难度：一般| 查看答案
已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈D，其中0＜a＜b．
（1）当D=（0，+∞）时，设t=
x
a
+
b
x
，f（x）=g（t），求y=g（t）的解析式及定义域；
（2）当D=（0，+∞），a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（3）设k＞0，当a=k2，b=（k+1）2时，1≤f（x）≤9对任意x∈[a，b]恒成立，求k的取值范围．
题型：解答题难度：一般| 查看答案
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