(1)∵t=+,0<a<b,x>0, ∴t≥2=, 又f(x)=(-1)2+(-1)2=(+-1)2+1-,f(x)=g(t), ∴g(t)=(t-1)2+1-,t∈[,+∞); (2)∵x>0,a=1,b=2, ∴f(x)=(x+-1)2-3,又x+-1≥2-1(当且仅当x=时取“=”) ∴f(x)≥(2-1)2-3=6-4, ∴f(x)min=6-4. (3)由题意可得,x∈[a,b]=[k2,(k+1)2],1≤f(x)≤9恒成立, ∴只需求得x∈[k2,(k+1)2]时f(x)的最小值即可. ∵此时,f(x)=[+2-1]2+1-, ∵k>0,x>0,令g(x)=+=(x+) 由双钩函数y=h(x)=x+(a>0)的性质h(x)在(0,]单调递减,在[,+∞)单调递增得: g(x)在[k2,k(k+1)]上单调递减,在[k(k+1),(k+1)2]单调递增 ∴当x=k(k+1)时g(x)取到最小值; 当x=k2时,g(k2)=2++; 当x=(k+1)2时,g((k+1)2)=2++=g(k2),即当x=k2或(k+1)2时g(x)取到最大值; ∴g(x)min=,g(x)max=2++; 由题意可知,当g(x)取到最小值时,f(x)取到最小值,g(x)取到最大值时,f(x)亦取到最大值. ∴f(x)min=[-1]2+1-=; 同理可求,f(x)max=[-1]2=(+)2. ∵1≤f(x)≤9对任意x∈[k2,(k+1)2]恒成立, ∴,而k>0, ∴0<k≤. |