已知f(x)为R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=ln(x+2).(Ⅰ)当x<0时,求f(x)的解析式;(Ⅱ)当m∈R时,试比较f(m-1)与f(3-m)的大小
题型:解答题难度:一般来源:盐城模拟
已知f(x)为R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=ln(x+2). (Ⅰ)当x<0时,求f(x)的解析式; (Ⅱ)当m∈R时,试比较f(m-1)与f(3-m)的大小; (Ⅲ)求最小的整数m(m≥-2),使得存在实数t,对任意的x∈[m,10],都有f(x+t)≤2ln|x+3|. |
答案
(Ⅰ)当x<0时,-x>0, ∵f(x)为R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=ln(x+2) ∴f(x)=f(-x)=ln(-x+2)…(3分) (Ⅱ)当x≥0时,f(x)=ln(x+2)单调递增,而f(x)是偶函数,所以f(x)在(-∞,0)上单调递减, 所以f(m-1)>f(3-m) 所以|m-1|>|3-m| 所以(m-1)2>(3-m)2 所以m>2…(6分) 所以当m>2时,f(m-1)>f(3-m);当m=2时,f(m-1)=f(3-m);当m<2时,f(m-1)<f(3-m)…(8分) (Ⅲ)当x∈R时,f(x)=ln(|x|+2),则由f(x+t)≤2ln|x+3|,得ln(|x+t|+2)≤ln(x+3)2, 即|x+t|+2≤(x+3)2对x∈[m,10]恒成立…(12分) 从而有对x∈[m,10]恒成立,因为m≥-2, 所以 | t≤(x2+5x+7)min=m2+5m+7 | t≥(-x2-7x-7)max=-m2-7m-7 |
| | …(14分) 因为存在这样的t,所以-m2-7m-7≤m2+5m+7,即m2+6m+7≥0…(15分) 又m≥-2,所以适合题意的最小整数m=-1…(16分) |
举一反三
(填空题压轴题:考查函数的性质,字母运算等) 设函数f(x)的定义域为D,如果存在正实数k,使对任意x∈D,都有x+k∈D,且f(x+k)>f(x)恒成立,则称函数f(x)为D上的“k型增函数”.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=|x-a|-2a,若f(x)为R上的“2011型增函数”,则实数a的取值范围是______. |
定义在R上的偶函数f (x)满足f (2-x)=f(x),且在[-3,-2]上是减函数,α,β是钝角三角形的两个锐角,则下列结论正确的是( )A.f (sinα)>f (cosβ) | B.f (sinα)<f (cosβ) | C.f (cosα)<f(cosβ) | D.f (cosα)>f (cosβ) |
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已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=log2x,则满足不等式f(x)>0的x的取值范围是______. |
已知三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)为R上奇函数,且在x=处取得极值-.记函数图象为曲线C. (Ⅰ)求函数f(x)的表达式; (Ⅱ)设曲线C与其在点P1(1,f(1))处的切线交于另一点P2(x2,f(x2)),线段P1P2与曲线C所围成封闭图形的面积记为S1,求S1的值; (Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下,设曲线C与其在点P2处的切线交于另一点P3(x3,f(x3)),线段P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积记为S2,…,按此方法依次做下去,即设曲线C与其在点Pn(xn,f(xn))处的切线交于另一点Pn+1(xn+1,f(xn+1)),线段PnPn+1与曲线C所围成封闭图形的面积记为Sn,试求Sn关于n的表达式. |
定义在R上的奇函数f(x)满足:x≤0时,f(x)=2x+b,则f(2)=______. |
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