已知三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)为R上奇函数,且在x=33处取得极值-239.记函数图象为曲线C.(Ⅰ)求函数f(x)的表达式;(Ⅱ)设
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已知三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)为R上奇函数,且在x=33处取得极值-239.记函数图象为曲线C.(Ⅰ)求函数f(x)的表达式;(Ⅱ)设
题型:解答题
难度:一般
来源:宣城模拟
已知三次函数f(x)=ax
3
+bx
2
+cx+d(a≠0)为R上奇函数,且在x=
3
3
处取得极值-
2
3
9
.记函数图象为曲线C.
(Ⅰ)求函数f(x)的表达式;
(Ⅱ)设曲线C与其在点P
1
(1,f(1))处的切线交于另一点P
2
(x
2
,f(x
2
)),线段P
1
P
2
与曲线C所围成封闭图形的面积记为S
1
,求S
1
的值;
(Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下,设曲线C与其在点P
2
处的切线交于另一点P
3
(x
3
,f(x
3
)),线段P
2
P
3
与曲线C所围成封闭图形的面积记为S
2
,…,按此方法依次做下去,即设曲线C与其在点P
n
(x
n
,f(x
n
))处的切线交于另一点P
n+1
(x
n+1
,f(x
n+1
)),线段P
n
P
n+1
与曲线C所围成封闭图形的面积记为S
n
,试求S
n
关于n的表达式.
答案
(Ⅰ)∵三次函数为R上奇函数,∴f(0)=0,f(-1)=-f(1)
即d=0且-a+b-c=-a-b-c
∴b=d=0
即f(x)=ax
3
+cx,f′(x)=3ax
2
+c,又f(x)=ax
3
+cx在x=
3
3
处取得极值-
2
3
9
,
∴
f(
3
3
)=-
2
3
9
f′(
3
3
)=0
即
a(
3
3
)
3
+c(
3
3
)=-
2
3
9
3a(
3
3
)
2
+c=0
得a=1,c=-1,∴f(x)=x
3
-x
(Ⅱ)∵f′(x)=3x
2
-1,f(1)=0,f′(1)=2,
∴曲线C在点P
1
处的切线方程为y=2(x-1)
由
y=2(x-1)
y=
x
3
-x
解得x
1
=1,x
2
=-2,
∴S
1
=|
∫
1-2
x
3
-x-2(x-1)dx
|=|(
1
4
x
4
-
3
2
x
2
+2x
)
|
1-2
|=
27
4
(Ⅲ)f(x)在P
n
(x
n
,f(x
n
))的切线:
y-(
x
n
3
-x
n
)=(3
x
n
2
-1)(x-x
n
)即y=(3
x
n
2
-1)x-2
x
n
3
由
y=(3
x
n
2
-1)x-2
x
n
3
y=
x
3
-x
解得x=x
n
或x=-2x
n
,
∴P
n+1
(-2x
n
,f(-2x
n
)),x
n+1
=-2x
n
,
S
n
=|
∫
-2
x
n
x
n
x
3
-x-[(3
x
n
2
-1)x-2
x
n
3
]dx|=|(
1
4
x
4
-
3
2
x
n
2
x
2
+2
x
n
3
x
)
|
-2
x
n
x
n
|=
27
4
x
n
4
同理得S
n+1
=
27
4
x
n+1
4
,又x
n+1
=-2x
n
≠0,∴
S
n+1
S
n
=
(
x
n+1
x
n
)
4
=16,又S
1
=
27
4
∴S
n
=
27
4
•16
n-1
=
27
64
•16
n
n∈N
*
.
举一反三
定义在R上的奇函数f(x)满足:x≤0时,f(x)=2
x
+b,则f(2)=______.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
已知a>0,b>0,函数f(x)=x
2
+(ab-a-4b)x+ab是偶函数,则f(x)的图象与y轴交点纵坐标的最小值为______.
题型:填空题
难度:简单
|
查看答案
已知函数
f(
x
2
-1)=lo
g
m
x
2
2-
x
2
(m>0,m≠1)
.
(1)试判断f(x)的奇偶性;
(2)解关于x的方程
f(x)=lo
g
m
1
x
.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
设a>0,若关于x的不等式x+
a
x-1
≥5在x∈(1,+∞)恒成立,则a的最小值为( )
A.16
B.9
C.4
D.2
题型:单选题
难度:简单
|
查看答案
给定函数
f(x)=
10
x
-
10
-x
2
.
(1)求f
-1
(x);
(2)判断f
-1
(x)的奇偶性,并证明你的结论.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
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