已知实数x、y满足2x-y≤0x+y-5≥0y-4≤0,若不等式a(x2+y2)≥(x+y)2恒成立,则实数a的最小值是______.

已知实数x、y满足2x-y≤0x+y-5≥0y-4≤0,若不等式a(x2+y2)≥(x+y)2恒成立,则实数a的最小值是______.

题型:填空题难度:一般来源:不详
已知实数x、y满足





2x-y≤0
x+y-5≥0
y-4≤0
,若不等式a(x2+y2)≥(x+y)2恒成立,则实数a的最小值是______.
答案
实数x、y满足





2x-y≤0
x+y-5≥0
y-4≤0
的可行域是一个三角形,三角形的三个顶点分别为(1,4),(2,4),(
5
3
10
3
)

与原点连线的斜率分别为4,2,∴
y
x
∈[2,4]

a(x2+y2)≥(x+y)2等价于a≥1+
2
y
x
+
x
y

y
x
在[2,4]上单调增
5
2
y
x
+
x
y
≤4+
1
4
=
17
4

∴a≥1+
4
5
=
9
5

∴实数a的最小值是
9
5

故答案为:
9
5
举一反三
若实数t满足f(t)=-t,则称t是函数f(x)的一次不动点.设函数f(x)=lnx与函数g(x)=ex(其中e为自然对数的底数)的所有一次不动点之和为m,则(  )
A.m<0B.m=0C.0<m<1D.m>1
题型:单选题难度:一般| 查看答案
若函数f(x)=





x2+2x   (x≥0)
g(x)      (x<0)
为奇函数,则g(x)等于(  )
A.-x2-2xB.-x2+2xC.x2+2xD.x2-2x
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知函数g(x)=
1
x•sinθ
+lnx在[1,+∞)
上为增函数,且θ∈(0,π),f(x)=mx-
m-1+2e
x
-lnx
,m∈R.
(1)求θ的值;
(2)当m=0时,求函数f(x)的单调区间和极值;
(3)若在[1,e]上至少存在一个x0,使得f(x0)>g(x0)成立,求m的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
若函数f(x)为R上的奇函数,且在定义域上单调递减,又f(sinx-1)>-f(sinx),x∈[0,π],则x的取值范围是(  )
A.(
π
3
3
)
B.[0,
π
3
]∪(
3
,π]
C.[0,
π
6
)∪(
6
,π]
D.(
π
6
6
)
题型:单选题难度:简单| 查看答案
设函数f(x)=
e2x2+1
x
,g(x)=
e2x
ex
,对任意x1、x2∈(0,+∞),不等式
g(x1)
k
f(x2)
k+1
恒成立,则正数k的取值范围是______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
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