已知函数f（x）=aln（x+1）-x2，若在区间（0，1）内任取两个实数p，q，且p≠q，不等式f(p+1)-f(q+1)p-q＞1恒成立，则实数a的取值范围

题型：填空题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=aln（x+1）-x²，若在区间（0，1）内任取两个实数p，q，且p≠q，不等式

f(p+1)-f(q+1)

p-q

＞1恒成立，则实数a的取值范围是______．

答案

由于

f(p+1)-f(q+1)

p-q

表示点（p+1，f（p+1））与点（q+1，f（q+1））连线的斜率，
因实数p，q在区间（0，1）内，故p+1 和q+1在区间（1，2）内．
∵不等式

f(p+1)-f(q+1)

p-q

＞1恒成立，∴函数图象上在区间（1，2）内任意两点连线的斜率大于1，
故函数的导数大于1在（1，2）内恒成立．
由函数的定义域知，x＞-1，∴f′（x）=

x+1

-2x＞1 在（1，2）内恒成立．
即 a＞2x²+3x+1在（1，2）内恒成立．
由于二次函数y=2x²+3x+1在[1，2]上是单调增函数，
故 x=2时，y=2x²+3x+1 在[1，2]上取最大值为15，∴a≥15，
故答案为[15，+∞）．

举一反三

已知函数f（x）=x²+（2a-8）x，不等式f（x）≤5的解集是{x|-1≤x≤5}．
（1）求实数a的值；
（2）f（x）≥m²-4m-9对于x∈R恒成立，求实数m的取值范围．

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若f（x）是奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，又f（-3）=0，则（x-1）f（x）＜0的解是（　　）

A．（-3，0）∪（1，+∞）

B．（-3，0）∪（0，3）

C．（-∞，-3）∪（3，+∞）

D．（-3，0）∪（1，3）

题型：单选题难度：简单| 查看答案

已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调增加，则满足f（2x-1）＜f（

）的x取值范围是（　　）

A．[

，

）

B．（

，

）

C．（

，

）

D．[

，

）

题型：单选题难度：简单| 查看答案

已知函数f（x）=log₂（x²+1）（x≥0），g(x)=

x-a

， ( a∈R )．
（1）试求函数f（x）的反函数f^-1（x）；
（2）函数h（x）=f^-1（x）+g（x），求h（x）的定义域，并判断函数h（x）的增减性；
（3）（理）若（2）中函数h（x），有h（x）≥2在定义域内恒成立，求a的范围．
（文）若（2）中函数h（x）的最小值为3，试求a的值．

题型：解答题难度：一般| 查看答案

函数f（x）为奇函数且f（3x+1）的周期为3，f（-1）=-1，则f（2008）等于（　　）

A．0

B．1

C．一1

D．2

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