设函数f(x)=x|x-a|+b,设常数b<22-3,且对任意x∈[0,1],f(x)<0恒成立,求实数a的取值范围.
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设函数f(x)=x|x-a|+b,设常数b<22-3,且对任意x∈[0,1],f(x)<0恒成立,求实数a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
设函数f(x)=x|x-a|+b,设常数
b<2
2
-3
,且对任意x∈[0,1],f(x)<0恒成立,求实数a的取值范围.
答案
∵b<2
2
-3<0,
∴当x=0时,a取任意实数不等式恒成立,故考虑x∈(0,1]时,原不等式变为|x-a|<-
b
x
,即x+
b
x
<a<x-
b
x
,
∴只需对x∈(0,1]满足
a
>(x+
b
x
)
max
,(1)
a
<(x-
b
x
)
min
,(2)
.
对(1)式,由b<0时,在(0,1]上,f(x)=x+
b
x
为增函数,
∴
(x+
b
x
)
max
=f(1)=1+b
∴a>1+b.(3)
对(2)式,①当-1≤b<0时,在(0,1]上,x-
b
x
=x+
-b
x
≥2
-b
(当且仅当x=-
b
x
,即x=
-b
时取等号);
∴
(x-
b
x
)
min
=2
-b
.
∴a<2
-b
.(4)
由(3)、(4),要使a存在,必须有
1+b<2
-b
-1≤b<0
,解得-1≤b<-3+2
2
.
∴当-1≤b<-3+2
2
时,1+b<a<2
-b
.
②当b<-1时,在(0,1]上,f(x)=x-
b
x
为减函数,
∴
(x-
b
x
)
min
=f(1)=1+b,
∴当b<-1时,1+b<a<1-b.
综上所述,当-1≤b<2
2
-3时a的取值范围是(1+b,2
-b
);
当b<-1时,a的取值范围是(1+b,1-b).
举一反三
若奇函数f(x)定义域为R,且x≥0时,f(x)=x(x+1),则x∈R时f(x)的解析式为______.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x(1-x),则f(x)的单调递增区间是( )
A.(0,+∞)
B.(-∞,-
1
2
)
C.(-∞,-
1
2
)∪(
1
2
,+∞
)
D.(-
1
2
,
1
2
)
题型:单选题
难度:一般
|
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已知函数y=f(x)为奇函数,若f(3)-f(2)=1,则f(-2)-f(-3)=( )
A.1
B.-1
C.2
D.-2
题型:单选题
难度:简单
|
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若奇函数f(x)在〔1,3〕上是增函数,且有最小值7,则它在〔-3,-1〕上( )
A.是减函数,有最小值-7
B.是增函数,有最小值-7
C.是减函数,有最大值-7
D.是增函数,有最大值-7
题型:单选题
难度:简单
|
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已知a>0且a≠1,f(x)=
a
a
2
-1
(
a
x
-
a
-x
)
(x∈R)
(1)判断f(x)的奇偶性并证明;
(2)判断f(x)的单调性并证明;
(3)对于f(x),当x∈(-1,1)时f(1-m)+f(1-m
2
)<0,求m的集合M.
题型:解答题
难度:一般
|
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