已知f(x)=ax-lnx>0对一切x>0恒成立,则实数a的取值范是______.

已知f(x)=ax-lnx>0对一切x>0恒成立,则实数a的取值范是______.

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知f(x)=ax-lnx>0对一切x>0恒成立,则实数a的取值范是______.
答案
∵f′(x)=a-
1
x
,(x>0)
∴由f′(x)=a-
1
x
=0,得a=
1
x
>0

∴由f′(x)=a-
1
x
>0,得a>
1
x

x>
1
a
时f(x)=ax-lnx是增函数,增区间是(
1
a
,+∞
).
∴由f′(x)=a-
1
x
<0,得a<
1
x

∴x
1
a
时f(x)=ax-lnx是减函数,减区间是(0,
1
a
);
∴f(x)=ax-lnx在x=
1
a
时,取最小值:
f(x)min=f(
1
a
) =1-ln(
1
a
)
>0,
∴0<ln(
1
a
)<1,
e>
1
a

∴实数a的取值范围是(
1
e
,+∞
).
故答案为:(
1
e
,+∞
).
举一反三
设函数f(x)=(1+x)2-ln(1+x)2+2.
(1)求函数f(x)的单调增区间;
(2)若不等式f(x)>m在x∈[
1
e
-1,e-1]
恒成立,求实数m的取值范围.
(3)若对任意的a∈(1,2),总存在x0∈[1,2],使不等式f(x0)>a+
9
4a
+m
成立,求实数m的取值范围.
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设函数f(x)=(x+1)ln(x+1).若对所有的x≥0,都有f(x)≥ax成立,求实数a的取值范围.
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对任意实数x,|x-1|-|x+3|<a恒成立,则a的取值范围是______.
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当x∈R时,一元二次不等式kx2-kx+1>0恒成立,则k的取值范围是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
若对于任意实数x,不等式|x+2|-|x-1|>a恒成立,则实数a的取值范围是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
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