设函数f（x）=-x（x-a）2（x∈R），其中a∈R．（1）、当f（x）奇函数时求a的值（2）、当a=1时，求曲线y=f（x）过点（0，f（0））的切线方程；
题型：解答题难度：一般来源：不详
设函数f（x）=-x（x-a）2（x∈R），其中a∈R．
（1）、当f（x）奇函数时求a的值
（2）、当a=1时，求曲线y=f（x）过点（0，f（0））的切线方程；（4分）
（3）、当a≠0时，求函数f（x）的极大值和极小值；（6分） |
答案
（1）∵f（x）为奇函数
∴f（-x）=-f（x），
∴x（-x-a）2=x（x-a）2
∵x∈R
∴（-x-a）2=（x-a）2恒成立
∴a=0
（2）当a=1时，f（x）=-x（x-1）2=-x3+2x2-x，得f（0）=0，且f"（x）=-3x2+4x-1，
设切点（x0，-x0（x0-1）2）
所以，切线方程y+x0（x0-1）2=（-3x02+4x0-1）（x-x0）
因为（0，0）在曲线上代入求得x0=0，，1
所以所求的切线方程为：y=-x；y=0；y=x．
（3）f（x）=-x（x-a）2=-x3+2ax2-a2x
f"（x）=-3x2+4ax-a2=-（3x-a）（x-a）．
令f"（x）=0，解得x=或x=a．
由于a≠0，以下分两种情况讨论．
（1）若a＞0，当x变化时，f"（x）的正负如下表：
| x | (-∞，) | | (，a) | a | （a，+∞） | | f"（x） | - | 0 | + | 0 | - |
解析 | x | （-∞，a） | a | (a，) | | (，+∞) | | f"（x） | - | 0 | + | 0 | - | 举一反三
已知函数f（x）=ln2（1+x）+2ln（1+x）-2x．
（I）证明函数f（x）在区间（0，1）上单调递减；
（II）若不等式(1+)2n+a≤e2对任意的n∈N*都成立，（其中e是自然对数的底数），求实数a的最大值． | 对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）．定义：（1）f（x）的导数f′（x）（也叫f（x）一阶导数）的导数，f″（x）为f（x）的二阶导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0） ）为函数y=f（x）的“拐点”；定义：（2）设x0为常数，若定义在R上的函数y=f（x）对于定义域内的一切实数x，都有f（x0+x）+f（x0-x）=2f（x0）恒成立，则函数y=f（x）的图象关于点（x0，f（x0））对称．
（1）己知f（x）=x3-3x2+2x+2，求函数f（x）的“拐点”A的坐标；
（2）检验（1）中的函数f（x）的图象是否关于“拐点”A对称；
（3）对于任意的三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）写出一个有关“拐点”的结论（不必证明）． | 已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2-x+2
（I）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（Ⅲ）对一切的x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围． | 已知函数f（x）=lnx，g(x)=，设F（x）=f（x）+g（x）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数F（x）的单调区间；
（Ⅱ）若以函数y=F（x）（0＜x≤3）图象上任意一点P（x0，y0）为切点的切线斜率k≤恒成立，求实数a的最小值． | 已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数），
（1）若a=-2，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）当a＜-2时，求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值；
（3）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求a的取值范围． |
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