已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2-x+2（I）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（Ⅲ）对一切的x

题型：解答题难度：一般来源：兰州一模

已知f（x）=xlnx，g（x）=x³+ax²-x+2
（I）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（Ⅲ）对一切的x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围．

答案

（Ⅰ）f′（x）=lnx+1令f′（x）＜0解得0＜x＜

1

e

∴f（x）的单调递减区间为(0，

1

e

)
令f′（x）＞0解得x＞

1

e

∴f（x）的单调递增区间为(

1

e

，+∞)；
（Ⅱ）当0＜t＜t+2＜

1

e

时，t无解
当0＜t≤

1

e

＜t+2，即0＜t≤

1

e

时，
∴f(x)min=f(

1

e

)=-

1

e

；
当

1

e

＜t＜t+2，即t＞

1

e

时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，
∴f（x）_min=f（t）=tlnt
∴f(x)min=

- 1 e     0＜t≤ 1 e tlnt     t＞ 1 e

；
（Ⅲ）由题意：2xlnx≤3x²+2ax-1+2即2xlnx≤3x²+2ax+1
∵x∈（0，+∞）
∴a≥lnx-

3

2

x-

1

2x

设h(x)=lnx-

3

2

x-

1

2x

，则h′(x)=

1

x

-

3

2

+

1

2x2

=-

(x-1)(3x+1)

2x2

令h′（x）=0，得x=1，x=-

1

3

（舍）
当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0
∴当x=1时，h（x）取得最大值，h（x）_max=-2
∴a≥-2
故实数a的取值范围[-2，+∞）