已知函数f(x)=12x2-3x+(a-1)lnx,g(x)=ax,h(x)=f(x)-g(x)+3x,其中a∈R且a>1.(I)求函数f(x)的导函数f′(x
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已知函数f(x)=12x2-3x+(a-1)lnx,g(x)=ax,h(x)=f(x)-g(x)+3x,其中a∈R且a>1.(I)求函数f(x)的导函数f′(x
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数f(x)=
1
2
x
2
-3x+(a-1)lnx,g(x)=ax,h(x)=f(x)-g(x)+3x,其中a∈R且a>1.
(I)求函数f(x)的导函数f′(x)的最小值;
(II)当a=3时,求函数h(x0的单调区间及极值;
(III)若对任意的x
1
,x
2
∈(0,+∞),x
1
≠x
2
,函数h(x)满足
h(
x
1
)-h(
x
2
)
x
1
-
x
2
>-1
,求实数a的取值范围.
答案
(I)
f′(x)=x-3+
a-1
x
=x+
a-1
x
-3
,其中x>0.
因为a>1,所以a-1>0,又x>0,所以
x+
a-1
x
-3≥2
a-1
-3
,
当且仅当
x=
a-1
时取等号,其最小值为
2
a-1
-3
.…(4分)
(II)当a=3时,
h(x)=
1
2
x
2
+2lnx-3x
,
h′(x)=x+
2
x
-3=
(x-1)(x-2)
x
.…..(6分)
x,h′(x),h(x)的变化如下表:
x
(0,1)
1
(1,2)
2
(2,+∞)
h′(x)
+
0
-
0
+
h(x)
递增
-
5
2
递减
2ln2-4
递增
举一反三
已知f(x)=ax-lnx>0对一切x>0恒成立,则实数a的取值范是______.
题型:解答题
难度:一般
|
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设函数f(x)=(1+x)
2
-ln(1+x)
2
+2.
(1)求函数f(x)的单调增区间;
(2)若不等式f(x)>m在
x∈[
1
e
-1,e-1]
恒成立,求实数m的取值范围.
(3)若对任意的a∈(1,2),总存在x
0
∈[1,2],使不等式
f(
x
0
)>a+
9
4a
+m
成立,求实数m的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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设函数f(x)=(x+1)ln(x+1).若对所有的x≥0,都有f(x)≥ax成立,求实数a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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对任意实数x,|x-1|-|x+3|<a恒成立,则a的取值范围是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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当x∈R时,一元二次不等式kx
2
-kx+1>0恒成立,则k的取值范围是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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