已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-23与x=1时都取得极值(1)求a、b的值与函数f(x)的单调区间.(2)若对x∈[-1,2],不等式f(x)<

已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-23与x=1时都取得极值(1)求a、b的值与函数f(x)的单调区间.(2)若对x∈[-1,2],不等式f(x)<

题型:解答题难度:一般来源:江西
已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-
2
3
与x=1时都取得极值
(1)求a、b的值与函数f(x)的单调区间.
(2)若对x∈[-1,2],不等式f(x)<c2恒成立,求c的取值范围.
答案
解;(1)f(x)=x3+ax2+bx+c,f"(x)=3x2+2ax+b





f′(-
2
3
)=
12
9
-
4
3
a+b=0
f′(1)=3+2a+b=0
解得,





a=-
1
2
b=-2

f"(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),函数f(x)的单调区间如下表:
举一反三
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x(-∞,-
2
3
-
2
3
(-
2
3
,1)
1(1,+∞)
f′(x)+0-0+
f(x)极大值极小值
已知函数f(x)=
a(x-1)2+1
bx+c-b
(a,b,c∈N)的图象按向量


e
=(-1,0)
平移后得到的图象关于原点对称,且f(2)=2,f(3)<3.
(1)求a,b,c的值;
(2)设0<|x|<1,0<|t|≤1.求证:|t+x|+|t-x|<|f(tx+1)|
(3)定义函数G(x)=f(x)-x+2.当n为正整数时,求证:G(4)×G(6)×G(8)×…×G(2n)>


2n+1
2
已知函数f(x)为R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x(x+1).若f(a)=-2,则实数a=______.
已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-2x2+3x+1,则f(-2)=______.
已知函数f(x)对任意x∈R,都有f(x)=f(2-x),且当x≤1时,f(x)=|1-ax|(a>1),又数列{an}中,a1=
1
3
a2=
3
2
a3=
2
3
,且an+3=an,n∈N*,则有(  )
A.f(a2010)<f(a2009)<f(a2011B.f(a2011)<f(a2009)<f(a2010
C.f(a2010)<f(a2011)<f(a2009D.f(a2009)<f(a2010)<f(a2011
对于函数f(x),若存在x0∈R,使得f(x0)=x0,则称x0为函数f(x)的不动点,若函数f(x)=
x2+a
bx-c
(b,c∈N*)
有且仅有两个不动点0和2,且f(-2)<-
1
2

(1)试求函数f(x)的表达式;
(2)已知各项不为0的数列{an}满足4Sn•f(
1
an
)=1
,其中Sn表示数列{an}的前n项和,求数列{an}的通项公式.