我们把平面直角坐标系中，函数y=f（x），x∈D上的点P（x，y），满足x∈N*，y∈N*的点称为函数y=f（x）的“正格点”．（1）请你选取一个m的值，使对函

题型：解答题难度：一般来源：不详

我们把平面直角坐标系中，函数y=f（x），x∈D上的点P（x，y），满足x∈N^*，y∈N^*的点称为函数y=f（x）的“正格点”．
（1）请你选取一个m的值，使对函数f（x）=sinmx，x∈R的图象上有正格点，并写出函数的一个正格点坐标
（2）若函数f（x）=sinmx，x∈R，m∈（1，2），与函数g（x）=lgx的图象有正格点交点，求m的值，并写出两个函数图象的所有交点个数．
（3）对于（2）中的m值，函数f（x）=sinx，x∈[0，

5

9

]时，不等式log_ax＞sinmx恒成立，求实数a的取值范围．

答案

（1）若取m=

π

2

时，
正格点坐标（1，1），（5，1）（9，1）等（答案不唯一）…（2分）
（2）作出两个函数图象，可知函数f（x）=sinmx，x∈R，与函数g（x）=lgx的图象有正格点交点只有一个点为（10，1）（4分）
∴2kπ+

π

2

=10m，m=

4k+1

20

π，(k∈z)，m∈(1，2)，
∴m=

9π

20

．…（6分）
根据图象可知：两个函数图象的所有交点个数为5个．（注意：最后两个点非常接近，几乎粘合在一起．）…（7分）
（3）由（2）知f(x)=sin

9π

20

x，x∈[0，

5

9

]，
∴①当a＞1时，不等式log_ax＞sinmx不能成立…（8分）
②当0＜a＜1时，由图（2）可知loga

5

9

＞sin

π

4

=

2

2

，∴(

5

9

)

2

＜a＜1…（10分）