已知函数f(x)=x2+(x≠0,常数a∈R).(1)讨论函数f(x)的奇偶性,并说明理由;(2)若函数f(x)在[2,+∞)上为增函数,求实数a的取值范围.

已知函数f(x)=x2+(x≠0,常数a∈R).(1)讨论函数f(x)的奇偶性,并说明理由;(2)若函数f(x)在[2,+∞)上为增函数,求实数a的取值范围.

题型:解答题难度:一般来源:江苏月考题
已知函数f(x)=x2+(x≠0,常数a∈R).
(1)讨论函数f(x)的奇偶性,并说明理由;
(2)若函数f(x)在[2,+∞)上为增函数,求实数a的取值范围.
答案
解:(1)当a=0时,f(x)=x2
对任意x∈(﹣∞,0)∪(0,+∞),有f(﹣x)=(﹣x)2=x2=f(x),
∴f(x)为偶函数.
当a≠0时,f(x)=x2(x≠0,常数a∈R),
取x=±1,得f(﹣1)+f(1)=2≠0,
f(﹣1)﹣f(1)=﹣2a≠0,
∴f(﹣1)≠﹣f(1),f(﹣1)≠f(1).
∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
(2)设2≤x1<x2
f(x1)﹣f(x2)= 
                            = [x1x2(x1+x2)﹣a],
要使函数f(x)在x∈[2,+∞)上为增函数,必须f(x1)﹣f(x2)<0恒成立.
∵x1﹣x2<0,x1x2>4,即a<x1x2(x1+x2)恒成立.
又∵x1+x2>4,
∴x1x2(x1+x2)>16,
∴a的取值范围是(﹣∞,16].
举一反三
f(x)是以5为周期的奇函数,f(﹣3)=4且cosα=,则f(4cos2α)=(    )。
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已知函数f(x)是R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=,则f(﹣4)的值是(    )
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对于函数y=f(x)(x∈R),给出下列命题:
(1)在同一直角坐标系中,函数y=f(1﹣x)与y=f(x﹣1)的图象关于直线x=0对称;
(2)若f(1﹣x)=f(x﹣1),则函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称;
(3)若f(1+x)=f(x﹣1),则函数y=f(x)是周期函数;
(4)若f(1﹣x)=﹣f(x﹣1),则函数y=f(x)的图象关于点(0,0)对称.
其中所有正确命题的序号是(    )
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已知函数f(x)=2x(x∈R),且f(x)=g(x)+h(x),其中g(x)为奇函数,h(x)为偶函数.若不等式2a·g(x)+h(2x)≥0对任意x∈[1,2]恒成立,则实数a的取值范围是(    )。
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已知定义在R的函数(a,b为实常数).
(1)当a=b=1时,证明:f(x)不是奇函数;
(2)设f(x)是奇函数,求a与b的值;
(3)当f(x)是奇函数时,证明对任何实数x、c都有f(x)<c2﹣3c+3成立.

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