(本小题满分14分)已知二次函数的图象过点,且函数对称轴方程为.(Ⅰ)求函数的解析式;(Ⅱ)设函数,求在区间上的最小值;(Ⅲ)探究:函数的图象上是否存在这样的点

(本小题满分14分)已知二次函数的图象过点,且函数对称轴方程为.(Ⅰ)求函数的解析式;(Ⅱ)设函数,求在区间上的最小值;(Ⅲ)探究:函数的图象上是否存在这样的点

题型:解答题难度:简单来源:不详
(本小题满分14分)
已知二次函数的图象过点,且函数对称轴方程为.
(Ⅰ)求函数的解析式;
(Ⅱ)设函数,求在区间上的最小值
(Ⅲ)探究:函数的图象上是否存在这样的点,使它的横坐标是正整数,纵坐标是一个完全平方数?如果存在,求出这样的点的坐标;如果不存在,请说明理由.
答案

解:(Ⅰ) ∵ 的对称轴方程为,∴ . ………… 2分
的图象过点(1,13),∴ ,∴ 
∴ 的解析式为. ………………………………………… 4分
(Ⅱ) 由(Ⅰ)得: ……………………… 6分
结合图象可知:当

.……………………………… 9分
∴ 综上: ……………………………………… 10分
(Ⅲ)如果函数的图象上存在符合要求的点,设为,其中为正整数,
为自然数,则,     ……………………………………… 11分
(法一)从而, 即 . 
注意到是质数,且,又
所以只有 ,  解得:.…………………………… 13分
因此,函数的图象上存在符合要求的点,它的坐标为.………… 14分
(法二)从而的偶数,∴ 的奇数
∴ 取验证得,当时符合
因此,函数的图象上存在符合要求的点,它的坐标为.………… 14分
解析

举一反三
. 已知函数,其中
(1)当时,把函数写成分段函数的形式;
(2)当时,求在区间[1,3]上的最值;
(3)设,函数在(m,n)上既有最大值又有最小值,请分别求出m,n的取值范围
(用表示).
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,求函数的最大值和最小值,并求出取得最值时的值。
题型:解答题难度:简单| 查看答案
(9分)已知函数f ( x )=x 2+ax+b
(1)若f (x)为偶函数,求实数a的值;
(2)若f (x)在内递增,求实数a的范围.
题型:解答题难度:简单| 查看答案
,则        
题型:填空题难度:简单| 查看答案
函数的图像大致是(   )

题型:单选题难度:简单| 查看答案
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