已知二次函数f(x)=ax2+bx,(a,b为常数,且a≠0)满足条件f(-x+5)=f(x-3),且方程f(x)=x有两个相等的实根.(1)求f(x)的解析式
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知二次函数f(x)=ax2+bx,(a,b为常数,且a≠0)满足条件f(-x+5)=f(x-3),且方程f(x)=x有两个相等的实根. (1)求f(x)的解析式; (2)是否存在实数m,n(m<n),使f(x)的定义域和值域分别为[m,n]与[3m,3n],若存在,求出m,n的值,若不存在,请说明理由. |
答案
(1)∵f(-x+5)=f(x-3),∴f(x)的对称轴为x=1, 即-=1即b=-2a. ∵f(x)=x有两相等实根,∴ax2+bx=x, 即ax2+(b-1)x=0有两相等实根0, ∴-=0, ∴b=1,a=-, ∴f(x)=-x2+x. (2)f(x)=-x2+x=-(x-1)2+≤, 故3n≤,故m<n≤, 又函数的对称轴为x=1,故f(x)在[m,n]单调递增则有f(m)=3m,f(n)=3n, 解得m=0或m=-4,n=0或n=-4,又m<n,故m=-4,n=0. |
举一反三
对于函数f(x),若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立,则称点(x0,x0)为函数的不动点,对于任意实数b,函数f(x)=ax2+bx-b总有相异不动点,实数a的取值范围是______. |
函数y=|cos2x|+|cosx|的值域为( ) |
已知二次函数f(x)=x2+2ax+b,若f(-1)=0. (1)用含a的代数式表示b; (2)令a=-1,求函数f(x)的单调区间. |
若函数f(x)=x2+(2m-1)x+m在区间[-1,1]内有零点,则m的取值范围是______. |
已知a>b,函数f(x)=(x-a)(x-b)的图象如图所示,则函数g(x)=loga(x+b)的图象可能为 ( ) |
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