已知函数f(x)=x2-ax+4+2lnx(I)当a=5时,求f(x)的单调递减函数;(Ⅱ)设直线l是曲线y=f(x)的切线,若l的斜率存在最小值-2,求a的值
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=x2-ax+4+2lnx (I)当a=5时,求f(x)的单调递减函数; (Ⅱ)设直线l是曲线y=f(x)的切线,若l的斜率存在最小值-2,求a的值,并求取得最小斜率时切线l的方程; (Ⅲ)若f(x)分别在x1、x2(x1≠x2)处取得极值,求证:f(x1)+f(x2)<2. |
答案
(I)因为函数的定义域为{x|x>0}, 当a=5时,f(x)=x2-5x+4+2lnx,f′(x)=2x-5+==, 所以由f"(x)<0,解得<x<2, 即函数的单调递减区间为(,2). (Ⅱ)因为x>0,所以f′(x)=2x+-a≥2-a=4-a, 当且仅当x=1时取等号.因为直线l的斜率存在最小值-2, 所以4-a=-2,即a=6. 当l取得最小斜率时,因为f(-1)=-1,即切点为(1,-1). 从而切线方程l:y+1=-2(x-1),即:2x+y-1=0. (Ⅲ)f′(x)=2x+-a=, 因为f(x)分别在x1、x2(x1≠x2)处取得极值, 所以x1、x2(x1≠x2)是方程=0, 即2x2-ax+2=0的两个不等正根. 则△=a2-16>0解得a2>16,且x1+x2=,x1x2=1. 从而f(x1)+f(x2)=+-a(x1+x2)+8+2ln(x1x2) =(x1+x2)2-2x1x2-a(x1+x2)+8+2ln(x1x2) =()2-2×1-a×+8+2ln1=-+6, 因为a2>16,所以-+6<2. 即不等式f(x1)+f(x2)<2成立. |
举一反三
已知函数f(x)=x2+2xsinθ-1,x∈[-,] (1)当θ=时,求f(x)的最大值和最小值; (2)若f(x)在x∈[-,]上是单调增函数,且θ∈[0,2π),求θ的取值范围. |
如果二次函数y=ax2+bx+1的图象的对称轴是x=1,并且通过点A(-1,7),则( )A.a=2,b=4 | B.a=2,b=-4 | C.a=-2,b=4 | D.a=-2,b=-4 |
|
若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(-2,0),B(4,0),且函数的最大值为9,则这个二次函数的表达式是 ______. |
如果函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数,则实数a的取值范围是( )A.[-3,+∞) | B.(-∞,-3] | C.(-∞,5] | D.[3,+∞) |
|
对于二次函数f(x)=-4x2+8x-3 (1)求函数f(x)图象的开口方向、f(x)的对称轴方程、顶点坐标,函数的值域; (2)求函数f(x)的零点; (3)求函数f(x)的单调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数. |
最新试题
热门考点