在平面直角坐标系xOy中，记二次函数f（x）=x2+2x+b（x∈R）与两坐标轴有三个交点．经过三个交点的圆记为C．（1）求实数b的取值范围；（2）求圆C的方程

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在平面直角坐标系xOy中，记二次函数f（x）=x²+2x+b（x∈R）与两坐标轴有三个交点．经过三个交点的圆记为C．
（1）求实数b的取值范围；
（2）求圆C的方程；
（3）问圆C是否经过定点（其坐标与b的无关）？请证明你的结论．

答案

解：．（1）令x=0，得抛物线与y轴交点是（0，b）；
令f（x）=x²+2x+b=0，
由题意b≠0且△＞0，
解得b＜1且b≠0．
（2）设所求圆的一般方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0
令y=0得x²+Dx+F=0这与x²+2x+b=0是同一个方程，
故D=2，F=b．
令x=0得y²+Ey+F=0，方程有一个根为b，
代入得出E=﹣b﹣1．
所以圆C的方程为x²+y²+2x﹣（b+1）y+b=0．
（3）圆C必过定点，证明如下：假设圆C过定点（x₀，y₀）（x₀，y₀不依赖于b），
将该点的坐标代入圆C的方程，并变形为x₀²+y₀²+2x₀﹣y₀+b（1﹣y₀）=0（*）
为使（*）式对所有满足b＜1（b≠0）的b都成立，
必须有1﹣y₀=0，结合（*）式得x₀²+y₀²+2x₀﹣y₀=0，
解得
经检验知，点（0，1），（﹣2，1）均在圆C上，因此圆C过定点．