解:因为a+b+c=0,a>b>c,
所以b=-a-c,a>0,c<0;
(Ⅰ)证明:因为二次方程f(x)=0的根的判别式,
△=b2-4ac=(-a-c)2-4ac=(a-c)2,
由a>c,得△=(a-c)2>0,
故方程f(x)=0有两个不同的实根,即函数f(x)有两个不同的零点;
(Ⅱ)由ax2+bx+a+c=0,得f(x)=-a,
①函数f(x)的图象为开口向上的抛物线,
由f(x)=-a<0,知实数x介于方程f(x)=0的 两根之间,
由于f(1)=a+b+c=0,则1是方程f(x)=0的一个根,
又由根与系数的关系,得另一个根为,
由a+b+c=0,a>b,得a>-a-c
所以a>,即>-2
故x+3>+3>-2+3=1
因此f(x+3)为正,
②令g(x)=ax2+bx+a+c,则g(x)=f(x)+a,
所以,g()=f()+a=a>0,
g(1)=f(1)+a>0
因为二次方程ax2+bx+a+c=0有实数根,所以
△=b2-4a(a+c)=(-a-c)2-4a(a+c)
=-3a2-2ac+c2≥0,
即(3a-c)(a+c)≤0,
解得
又a>0,且b=-(a+c)≠0,
所以0<a<-c,
所以a+c<0,
故g(0)=f(0)+a=a+c<0,
因此,关于x的方程ax2+bx+a+c=0在区间和(0,1)内各有一个实根。
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