设a为实数,设函数的最大值为g(a)。(1)设t=,求t的取值范围,并把f(x)表示为t的函数m(t);(2)求g(a);(3)试求满足的所有实数a。

设a为实数,设函数的最大值为g(a)。(1)设t=,求t的取值范围,并把f(x)表示为t的函数m(t);(2)求g(a);(3)试求满足的所有实数a。

题型:解答题难度:困难来源:江苏高考真题
设a为实数,设函数的最大值为g(a)。
(1)设t=,求t的取值范围,并把f(x)表示为t的函数m(t);
(2)求g(a);
(3)试求满足的所有实数a。
答案
解:(1)∵
∴要使t有意义,必须,即

∴t的取值范围是
由①得

(2)由题意知即g(a)为函数的最大值
(i)当a>0,函数的图像是开口向上的抛物线的一段,
知m(t)在上单调递增

(ii)当a=0时,m(t)=t,

(iii)当a<0时,函数y=m(t),的图像是开口向下的抛物线的一段


,即

,即,则
综上有
(3)情形1:当时,,此时
解得,与矛盾
情形2:当时,
此时
解得,与矛盾
情形3:当时,
此时
所以
情形4:当时,
此时
解得,与矛盾
情形5:当时,
此时
解得矛盾
情形6:当a>0时,
此时
解得

综上知,满足的所有实数a为:
举一反三
已知函数f(x)=ax2+2ax+4(0<a<3),若x1<x2,x1+x2=1-a,则

[     ]

A.f(x1)<f(x2
B.f(x1)=f(x2
C.f(x1)>f(x2
D.f(x1)与f(x2)的大小不能确定
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已知a,b,c,d是不全为零的实数,函数f(x)=bx2+cx+d,g(x)=ax3+bx2+cx+d。方程f(x)=0有实数根,且f(x)=0的实数根都是g(f(x))=0的根;反之,g(f(x))=0的实数根都是f(x)=0的根。
(1)求d的值;
(2)若a=0,求c的取值范围;
(3)若a=1,f(1)=0,求c的取值范围。
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如果函数f(x)=ax(ax-3a2-1)(a>0且a≠1)在区间[0,+∞)上是增函数,那么实数a的取值范围是[     ]
A.
B.
C.
D.
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函数f(x)=cos2x-2cos2的一个单调增区间是 [     ]

A.
B.
C.
D.

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已知函数f(x)=kx3-3x2+1(k≥0)。
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)的极小值大于0,求k的取值范围。
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