已知是二次函数,不等式的解集是(0,5),且在区间[-1,4]上的最大值是12.(1)求f(x)的解析式;(2)是否存在正整数m,使得方程在区间内有且只有两个不
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已知是二次函数,不等式的解集是(0,5),且在区间[-1,4]上的最大值是12.(1)求f(x)的解析式;(2)是否存在正整数m,使得方程在区间内有且只有两个不
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知
是二次函数,不等式
的解集是(0,5),且
在区间[-1,4]上的最大值是12.
(1)求f(x)的解析式;
(2)是否存在正整数m,使得方程
在区间
内有且只有两个不等的实数根?若存在,求出所有m的值;若不存在,请说明理由.
答案
(1)
;(2)方程
,
设
,则
.
当
时,
,
是减函数;当
时,
,
是增函数.
因为
.所以方程
在区间
,
内分别有唯一实数根,而区间
,
内没有实数根.所以存在唯一的正数
,使得方程
在区间
内有且只有两个不等的实数根.
解析
试题分析:(1)由已知得0,5是二次函数
的两个零点值,所以可设
,开口方向向上,对称轴为
,因此
在区间
上的最大值是
,则
,即
,因此可求出函数
的解析式;(2)由(1)得
,构造函数
,则方程
的实数根转化为函数
的零点,利用导数法得到函数
减区间为
、增区间为
,又有
,
,
,发现函数
在区间
,
内分别有唯一零点,而在区间
,
内没有零点,所以存在唯一的正数
,使得方程
在区间
内有且只有两个不等的实数根.
(1)因为
是二次函数,且
的解集是
,
所以可设
2分
所以
在区间
上的最大值是
. 4分
由已知,得
,
.
. 6分
(2)方程
,
设
,则
. 10分
当
时,
,
是减函数;
当
时,
,
是增函数. 10分
因为
.
所以方程
在区间
,
内分别有唯一实数根,而区间
,
内没有实数根. 12分
所以存在唯一的正数
,使得方程
在区间
内有且只有两个不等的实数根. 14分
举一反三
已知函数
,
,
的零点分别为
,则( )
A.
B.
C.
D.
题型:单选题
难度:简单
|
查看答案
在区间
上,关于
的方程
解的个数为
.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
若函数
不存在零点,则实数
的取值范围是
.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
函数y=ln(x+1)与
的图像交点的横坐标所在区间为( )
A.(0,1)
B.(1,2)
C.(2,3)
D.(3,4)
题型:单选题
难度:简单
|
查看答案
设
,则函数
的零点位于区间( )
A.(-1,0)
B.(0,1)
C.(1,2)
D.(2,3)
题型:单选题
难度:简单
|
查看答案
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