设M是由满足下列条件的函数f(X)构成的集合:①方程有实数根;②函数的导数 (满足”(I )若函数为集合M中的任一元素,试证明万程只有一个实根;(II) 判
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设M是由满足下列条件的函数f(X)构成的集合:①方程有实数根;②函数的导数 (满足”(I )若函数为集合M中的任一元素,试证明万程只有一个实根;(II) 判
题型:解答题
难度:简单
来源:不详
设M是由满足下列条件的函数f(X)构成的集合:
①方程
有实数根;
②函数
的导数
(满足
”
(I )若函数
为集合M中的任一元素,试证明万程
只有一个实根
;
(II) 判断函^
是否是集合M中的元素,并说明理由;
(III) “对于(II)中函数
定义域内的任一区间
,都存在
,使得
”,请利用函数
的图象说明这一结论.
答案
(Ⅰ)令
,则
,即
在区间
上单调递减
所以,使
,即
成立的
至多有一解,┄┄┄┄┄┄┄┄┄3分
又由题设①知方程
有实数根,
所以,方程
只有一个实数根;┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分
(Ⅱ)由题意易知,
,满足条件②┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分
令
,
则
,┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分
又
在区间
上连续,所以
在
上存在零点
,
即方程
有实数根
,故
满足条件①,
综上可知,
;┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄9分
(Ⅲ)由(Ⅱ)知:
,
而
,
所以原式等价于
,┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄11分
该等式说明函数
上任意两点
和
的连线段
(如图所示),在曲线
上都一定存在一点
,使得该点 处的切线平行于
,根据
图象知该等式一定成立.
解析
略
举一反三
已知函数
f
(
x
)的定义域为
,其导函数
f'
(
x
)的图象如图所示,则对于任意
x
1
,
x
2
∈
(
x
1
≠
x
2
),下列结论正确的是
①
f
(
x
)< 0恒成立;
②(
x
1
-
x
2
)[
f
(
x
1
)-
f
(
x
2
)] < 0;
③(
x
1
-
x
2
)[
f
(
x
1
)-
f
(
x
2
)] > 0;
④
>
;
⑤
<
.
A.①③
B.①③④
C.②④
D.②⑤
题型:单选题
难度:简单
|
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设函数
则
( )
A.在区间
内均有零点
B.在区间
内均无零点
C.在区间
内无零点,在区间
内有零点
D.在区间
内有零点,在区间
内无零点
题型:单选题
难度:简单
|
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方程
在
内根的个数有 ( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
题型:单选题
难度:简单
|
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设
,且
为自然对数的底数)
(1)求
与
的关系;
(2)若
在其定义域内为单调函数,求
的取值范围。
题型:解答题
难度:简单
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若关于x的方程
=
在区间(0,1)上有解,则实数m的取值范围是( )
A.(0,1)
B.(1,2)
C.(-∞,1)∪(2,+∞)
D.(-∞,0)∪(1,+∞)
题型:单选题
难度:简单
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