∵函数f(x)=x3-3x2+1,g(x)= | (x-)2+1(x>0) | -(x+3)2+1(x≤0) |
| | , 令f′(x)=0 可得 x=0,x=2,在(-∞,0)上,f′(x)>0,f(x)是增函数; 在(0,2)上,f′(x)<0,f(x)是减函数;在(2,+∞)上,f′(x)>0,f(x)是增函数. 故f(x)的极大值为f(0)=1,极小值为f(2)=-3,且函数的值域为R. 由函数g(x)的图象可得,当x=-3或x=时,g(x)=1. ①当a=1时,若方程g[f(x)]-a=0,则: f(x)=-3,此时方程有2个根,或f(x)=,此时方程有3个根, 故方程g[f(x)]-a=0可能共有5个根. ②当0<a<1时,方程g[f(x)]-a=0,则: f(x)∈(-4,-3),此时方程有1个根,或f(x)∈(-3,-2),此时方程有3个根 故方程g[f(x)]-a=0可能共有4个根. ③当a>1时,方程g[f(x)]-a=0,则:f(x)∈(0,),或f(x)∈(,+∞), 方程可能有4个、5个或6个根. 故方程g[f(x)]-a=0(a为正实数)的实数根最多有6个, 故选 A. |