已知向量a=(sinx,cosx),b=(cosx,-cosx),设函数f(x)=a•(a+b).(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)的单调增区间;(

已知向量a=(sinx,cosx),b=(cosx,-cosx),设函数f(x)=a•(a+b).(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)的单调增区间;(

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知向量


a
=(sinx,cosx),


b
=(cosx,-cosx),设函数f(x)=


a
•(


a
+


b
).
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)的单调增区间;
(3)若函数g(x)=f(x)-k,x∈[0,
π
2
]
,其中k∈R,试讨论函数g(x)的零点个数.
答案
(1)函数f(x)=


a
•(


a
+


b
)=(sinx,cosx)•(sinx+cosx,0)
=sin2x+sinxcosx=
1-cos2x
2
+
1
2
sin2x
=


2
sin(2x+
π
4
)+
1
2

所以函数的最小正周期为:π.
(2)因为函数 y=


2
sin(2x+
π
4
)+
1
2
,由 2kπ-
π
2
≤2x+
π
4
π
2
+2kπ   k∈Z
,即 kπ-
8
≤x≤
π
8
+kπ   k∈Z

所以函数的单调增区间为:[-
3
8
π+kπ,
π
8
+kπ] (k∈Z)

(3)y=


2
sin(2x+
π
4
)+
1
2
x∈[0,
π
2
]
,所以2x+
π
4
∈[
π
4
4
]

y=


2
sin(2x+
π
4
)+
1
2
∈[
3
2
1
2
+


2
]

函数g(x)=f(x)-k=


2
sin(2x+
π
4
)+
1
2
-k,x∈[0,
π
2
]
,其中k∈R,
当k
3
2
k>
1
2
+


2
时,零点为0个;
k∈[
3
2
1
2
+


2
)
时函数有两个零点,
k=
1
2
+


2
时,函数有一个零点;
举一反三
若方程x2+3x-m=0的两个实数根都大于-2,则实数m的取值范围是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知不等式ax2+bx+c>0的解集为(1,t),记函数f(x)=ax2+(a-b)x-c.
(1)求证:函数y=f(x)必有两个不同的零点.
(2)若函数y=f(x)的两个零点分别为m,n,求|m-n|的取值范围.
(3)是否存在这样实数的a、b、c及t,使得函数y=f(x)在[-2,1]上的值域为[-6,12].若存在,求出t的值及函数y=f(x)的解析式;若不存在,说明理由.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
设方程x3=7-2x的解为x0,则关于x的不等式x-2<x0的最大整数解为______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
设函数f(x)在R上满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在闭区间[0,7]上,只有f(1)=f(3)=0,方程f(x)=0在闭区间[-2005,2005]上的根的个数为(  )
A.804B.803C.802D.800
题型:单选题难度:一般| 查看答案
定义运算:a*b=





a(当a≤b时)
b(当a>b时).
例如1*3=1,则f(x)=(2-x-
1
2
)*(2x-
1
2
)
的零点是(  )
A.-1,1B.(-1,1)C.1D.-1
题型:单选题难度:一般| 查看答案
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