已知函数f(x)=ax3-32ax2,函数g(x)=3(x-1)2.(1)当a>0时,求f(x)和g(x)的公共单调区间;(2)当a>2时,求函数h(x)=f(

已知函数f(x)=ax3-32ax2,函数g(x)=3(x-1)2.(1)当a>0时,求f(x)和g(x)的公共单调区间;(2)当a>2时,求函数h(x)=f(

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=ax3-
3
2
ax2
,函数g(x)=3(x-1)2
(1)当a>0时,求f(x)和g(x)的公共单调区间;
(2)当a>2时,求函数h(x)=f(x)-g(x)的极小值;
(3)讨论方程f(x)=g(x)的解的个数.
答案
(1)f′(x)=3ax2-3ax=3ax(x-1),a>0时,由f′(x)>0,得x<0或x>1,由f′(x)<0,得0<x<1,
所以f(x)的单调递增区间是(-∞,0),和(1,+∞),单调递减区间是(0,1).而函数g(x)的单调递增区间是(1,+∞),单调递减区间是(0,1).所以两个函数的公共单调递增区间是(1,+∞),公共单调递减区间是(0,1).
(2)h(x)=ax3-
3
2
ax2
-3(x-1)2
h′(x)=3ax2-3(a+2)x+6=3a(x-
2
a
)(x-1),
令h′(x)=0,得x=
2
a
,或x=1,由于
2
a
<1,
易知x=1为h(x)的极小值点,
所以h(x)的极小值为h(1)=-
a
2

(3)由(2)h(x)=ax3-
3
2
ax2
-3(x-1)2.h′(x)=3ax2-3(a+2)x+6=3a(x-
2
a
)(x-1),
①若a=0,则h(x)=-3(x-1)2.h(x)的图象与x轴只有一个交点,即方程f(x)=g(x)只有一个解.
②若a<0,则h(x)的极大值为h(1)=-
a
2
,h(x)的极小值为h(
2
a
)=-
4
a2
+
6
a
-3
<0,h(x)的图象与x轴有三个交点,即方程f(x)=g(x)有三个解.
③若0<a<2,则h(x)的极大值为h(1)=-
a
2
<0,h(x)的图象与x轴只有一个交点,即方程f(x)=g(x)只有一个解.
④若a=2,则h′(x)=6(x-1)2≥0,h(x)单调递增,h(x)的图象与x轴只有一个交点,即方程f(x)=g(x)只有一个解.
⑤若a>2,则由(2)知,h(x)的极大值为h(
2
a
)=-4(
1
a
-
3
4
)2-
3
4
<0,h(x)的图象与x轴只有一个交点,即方程f(x)=g(x)只有一个解.
综上所述,当a≥0,方程f(x)=g(x)只有一个解.若a<0,方程f(x)=g(x)有三个解.
举一反三


a
=(x2,2),


b
=(x,1)

(1)若


a


b
,求x;
(2)若函数f(x)=


a


b
对应的图象记为C
(I)求曲线C在A(1,3)处的切线方程?
(II)若直线l为曲线C的切线,并且直线l与曲线C有且仅有一个公共点,求所有这样直线l的方程?
题型:解答题难度:一般| 查看答案
函数f(x)=lnx+3x-6的零点有______个.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)定义域为R,且f(0)=1,对任意x,y∈R恒有f(x-y)=f(x)-
1
3
y2(2x-y+3),
(1)求函数f(x)的表达式;
(2)若方程f(x)=a有三个实数解,求实数a的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=x2+(a-1)x+b,f(1)=1
(1)若函数f(x)没有零点,求a的取值范围;
(2)若函数f(x)的图象的对称轴是x=1,解不等式f(x)>5.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
在区间[3,5]上有零点的函数是(  )
A.f(x)=2xln(x-2)-3B.f(x)=-x3-3x+5
C.f(x)=2x-4D.f(x)=
1
x
+2
题型:单选题难度:简单| 查看答案
最新试题
热门考点

超级试练试题库

© 2017-2019 超级试练试题库,All Rights Reserved.