a=(x2,2),b=(x,1)(1)若a∥b,求x;(2)若函数f(x)=a•b对应的图象记为C(I)求曲线C在A(1,3)处的切线方程?(II)若直线l为曲

a=(x2,2),b=(x,1)(1)若a∥b,求x;(2)若函数f(x)=a•b对应的图象记为C(I)求曲线C在A(1,3)处的切线方程?(II)若直线l为曲

题型:解答题难度:一般来源:不详


a
=(x2,2),


b
=(x,1)

(1)若


a


b
,求x;
(2)若函数f(x)=


a


b
对应的图象记为C
(I)求曲线C在A(1,3)处的切线方程?
(II)若直线l为曲线C的切线,并且直线l与曲线C有且仅有一个公共点,求所有这样直线l的方程?
答案
(1)∵


a
=(x2,2),


b
=(x,1)
,且


a


b

∴x2•1=2•x,解之得x=0或2
(2)f(x)=


a


b
=x2•x+1×2=x3+2
(I)对f(x)求导数,得f"(x)=3x2
∴曲线C:y=f(x)在A(1,3)处切线的斜率k=f"(1)=3
结合直线的点斜式方程,得切线方程是y-3=3(x-1),即y=3x.
(II)设切点坐标P(t,t3+2),得在点P处切线的斜率k=f"(t)=3t2
∴曲线C在点P处的切线方程为y-(t3+2)=3t2(x-t),即y=3t2x-2t3+2





y=3t2x-2t3+2
y=x3+2
得3t2x-2t3+2=x3+2,即x3-3t2x+2t3=0
∴(x-t)2(x+2t)=0,
因为切线与曲线C有且仅有一条一个公共点,所以只有t=0时以上方程有相等的实数根,此时l方程为y=2
∴存在直线l为曲线C的切线,并且直线l与曲线C有且仅有一个公共点,此时切线方程为y=2.
举一反三
函数f(x)=lnx+3x-6的零点有______个.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)定义域为R,且f(0)=1,对任意x,y∈R恒有f(x-y)=f(x)-
1
3
y2(2x-y+3),
(1)求函数f(x)的表达式;
(2)若方程f(x)=a有三个实数解,求实数a的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=x2+(a-1)x+b,f(1)=1
(1)若函数f(x)没有零点,求a的取值范围;
(2)若函数f(x)的图象的对称轴是x=1,解不等式f(x)>5.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
在区间[3,5]上有零点的函数是(  )
A.f(x)=2xln(x-2)-3B.f(x)=-x3-3x+5
C.f(x)=2x-4D.f(x)=
1
x
+2
题型:单选题难度:简单| 查看答案
用二分法研究函数f(x)=x3+3x-1的零点时,第一次经计算f(0)<0,f(0.5)>0,可得其中一个零点x0∈______,第二次应计算______,这时可判断x0∈______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
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