已知函数f（x）=2x3-3ax2+（a2+2）x-a（a∈R）．（I）若当x=1时，函数f（x）取得极值，求a的值；（II）若函数f（x）仅有一个零点，求a的
题型：解答题难度：一般来源：安徽模拟
已知函数f（x）=2x3-3ax2+（a2+2）x-a（a∈R）．
（I）若当x=1时，函数f（x）取得极值，求a的值；
（II）若函数f（x）仅有一个零点，求a的取值范围． |
答案
f′（x）=6x2-6ax+（a2+2），
（I）f′（1）=6-6a+（a2+2），令f′（x）=0，解得a=2或a=4，
当a=2时，f′（x）=6x2-12x+6=6（x-1）2，显然f（x）在x=1处不取得极值；
当a=4时，f′（x）=6x2-24x+18=6（x-1）（x-3），
显然f（x）在x=1处取得极大值．
故a的值为4．
（II）f（x）=2x3-3ax2+（a2+2）x-a
=（2x3-2ax2+2x）-（ax2-a2x+a）
=（x2-ax+1）（2x-a）
得f（x）的一个零点是，又函数f（x）仅有一个零点，
∴△=（-a）2-4×1×1＜0，解得-2＜a＜2，
故a的取值范围（-2，2）． |
举一反三
| 设函数f(x)=()x-x的零点x0∈(，)(n∈N*)，则n=______． |
设a＞0，函数f(x)=．
（Ⅰ）证明：存在唯一实数x0∈(0，)，使f（x0）=x0；
（Ⅱ）定义数列{xn}：x1=0，xn+1=f（xn），n∈N*．
（i）求证：对任意正整数n都有x2n-1＜x0＜x2n；
（ii） 当a=2时，若0＜xk≤(k=2，3，4，…)，证明：对任意m∈N*都有：|xm+k-xk|＜． |
下列函数中，在（0，1）上有零点的函数是（ ）| A．f（x）=ex-x-1 | B．f（x）=xlnx | | C．f（x）= | D．f（x）=sin2x+lnx |
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方程x3=x+1的根所在的区间是（ ）| A．（0，1） | B．（1，2） | C．（2，3） | D．（3，4） |
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函数f（x）=lnx+2x-6的零点所在的区间为（ ）| A．[1，2] | B．[，2] | C．[2，] | D．[，3] |
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