设D是函数y=f(x)定义域内的一个区间，若存在x0∈D，使f(x0)=x0，则称x0是f(x)的一个不动点，也称f(x)在区间D上有不动点．（1）证明f(x)

题型：解答题难度：困难来源：广东省模拟题

设D是函数y=f(x)定义域内的一个区间，若存在x₀∈D，使f(x₀)=x₀，则称x₀是f(x)的一个不动点，也称f(x)在区间D上有不动点．
（1）证明f(x)=2^x-2x-3在区间（1，4）上有不动点；
（2）若函数f(x)=ax²-x-a+在区间[1，4]上有不动点，求常数a的取值范围．

答案

解：（1）依题意，“f(x)在区间D上有不动点”当且仅当“F(x)= f(x)-x在区间D上有零点”，
在区间[1，4]上是一条连续不断的曲线，
，
所以，函数F(x)= f(x)-x在区间（1，4）内有零点，
即在区间（1，4）上有不动点。
（2）依题意，存在x∈[1，4]，使，
当x=1时，使；
当x≠1时，解得，
由，得x=2或（，舍去），
，
所以，当x=2时，，
所以，常数a的取值范围是。