设D是函数y=f(x)定义域内的一个区间,若存在x0∈D,使f(x0)=x0,则称x0是f(x)的一个不动点,也称f(x)在区间D上有不动点.(1)证明f(x)

设D是函数y=f(x)定义域内的一个区间,若存在x0∈D,使f(x0)=x0,则称x0是f(x)的一个不动点,也称f(x)在区间D上有不动点.(1)证明f(x)

题型:解答题难度:困难来源:广东省模拟题
设D是函数y=f(x)定义域内的一个区间,若存在x0∈D,使f(x0)=x0,则称x0是f(x)的一个不动点,也称f(x)在区间D上有不动点.
(1)证明f(x)=2x-2x-3在区间(1,4)上有不动点;
(2)若函数f(x)=ax2-x-a+在区间[1,4]上有不动点,求常数a的取值范围.
答案
解:(1)依题意,“f(x)在区间D上有不动点”当且仅当“F(x)= f(x)-x在区间D上有零点”,
在区间[1,4]上是一条连续不断的曲线,

所以,函数F(x)= f(x)-x在区间(1,4)内有零点,
在区间(1,4)上有不动点。
(2)依题意,存在x∈[1,4],使
当x=1时,使
当x≠1时,解得
,得x=2或,舍去),

所以,当x=2时,
所以,常数a的取值范围是
举一反三
下列函数中,在(0,)上有零点的函数是[     ]
A、f (x)=sinx-x   
B、f (x)=sinx-x  
C、f (x)=sin2x-x   
D、f (x)=sin2x-x 
题型:单选题难度:一般| 查看答案
下列函数中在区间[1,2]上有零点的是[     ]
A.f(x)=3x2-4x+5   
B.f(x)=x3-5x-5
C.f(x)=lnx-3x+6
D.f(x)=ex+3x-6
题型:单选题难度:简单| 查看答案
函数f(x)=lgx-的零点所在的大致区间是[     ]
A.(6,7)
B.(7,8)
C.(8,9)
D.(9,10)
题型:单选题难度:一般| 查看答案
函数y=x3与y=()x的图象的交点为(x0,y0),则x0所在区间为[     ]
A.(-2,-1)
B.(-1,0)
C.(0,1)
D.(1,2)
题型:单选题难度:一般| 查看答案
有下列四个结论:
①函数f(x)=lg(x+1)+lg(x-1)的定义域是(1,+∞);
②若幂函数y=f(x)的图象经过点(2,4),则该函数为偶函数;
③函数y=5|x|的值域是(0,+∞);
④函数f(x)=x+2x在(-1,0)有且只有一个零点;其中正确结论的个数为[     ]
A.1
B.2
C.3
D.4
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