解:(1)由,得:, ∴函数的定义域. ……………………………………3分 (2)令, 则时,。 又 (仅在时,) ∴在内是增函数, ……………………………………6分 ∴当时,,; 当时, ,; 当时, ,. ……………………………………8分 (3)讨论方程解的个数,即讨论零点的个数. 因为, 所以 ①当时,,,所以 (仅在时,) 在内是增函数, 又, 所以有唯一零点; ……………………………………9分 ②当时,由(2)知有唯一零点; ……………………………………10分 ③当时,, (仅在时,) 所以在内是增函数, 又, 所以有唯一零点; ……………………………………11分 ④当时,,
,或时,,递增, 时,,递减. , ; 时, ; 时, , ∴在区间,及内各有一个零点. ……………………………………13分 综上,当时,方程有唯一解; 当时,方程有三个解. ……………………………………14 |