已知函数f(x)=2x+2-xa(常数a∈R).(1)若a=-1,且f(x)=4,求x的值;(2)若a≤4,求证函数f(x)在[1,+∞)上是增函数;(3)若存
题型:解答题难度:一般来源:卢湾区一模
已知函数f(x)=2x+2-xa(常数a∈R). (1)若a=-1,且f(x)=4,求x的值; (2)若a≤4,求证函数f(x)在[1,+∞)上是增函数; (3)若存在x∈[0,1],使得f(2x)>[f(x)]2成立,求实数a的取值范围. |
答案
(1)由a=-1,f(x)=4,可得2x-2-x=4,设2x=t, 则有t-t-1=4,即t2-4t-1=0,解得t=2±(2分) 当t=2+时,有2x=2+,可得x=log2(2+). 当t=2-时,有2x=2-,此方程无解. 故所求x的值为log2(2+).(4分) (2)设x1,x2∈[1,+∞),且x1>x2, 则f(x1)-f(x2)=(2x1+2-x1a)-(2x2+2-x2a) =(2x1-2x2)+a =(2x1+x2-a)(7分) 由x1>x2,可得2x1>2x2,即2x1-2x2>0 由x1,x2∈[1,+∞),x1>x2,可得x1+x2>2, 故2x1+x2>4>0, 又a≤4,故2x1+x2>a,即2x1+x2-a>0 所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2), 故函数f(x)在[1,+∞)上是增函数.(10分) (3)因为函数f(x)=2x+2-xa,存在x∈[0,1], f(2x)>[f(x)]2⇔22x+2-2x>22x+2a+2-2xa2⇔2-2x(a2-a)+2a<0(12分) 设t=2-2x,由x∈[0,1],可得t∈[,1], 由存在x∈[0,1]使得f(2x)>[f(x)]2, 可得存在t∈[,1],使得(a2-a)t+2a<0,(14分) 令g(t)=(a2-a)t+2a<0, 故有g()=(a2-a)+2a<0或g(1)=(a2-a)+2a<0, 可得-7<a<0.即所求a的取值范围是(-7,0).(16分) |
举一反三
设y1=0.4,y2=0.5,y3=0.5,则y1、y2、y3大小关系为______. |
设a=20.3,b=0.32,c=log25,则a,b,c的关系是( )A.a<b<c | B.b<c<a | C.c<b<a | D.b<a<c |
|
函数f(x)=loga(x-3a)(a>0,且a≠1),当点P(x,y)是函数y=f(x)图象上的点时,Q(x-2a,-y)是函数y=g(x)图象上的点. (1)写出函数y=g(x)的解析式. (2)当x∈[a+2,a+3]时,恒有|f(x)-g(x)|≤1,试确定a的取值范围. |
某出版社新出版一本高考复习用书,该书的成本为5元/本,经销过程中每本书需付给代理商m元(1≤m≤3)的劳务费,经出版社研究决定,新书投放市场后定价为x元/本(9≤x≤11),预计一年的销售量为(20-x)2万本. (1)求该出版社一年的利润L(万元)与每本书的定价x的函数关系式; (2)当每本书的定价为多少元时,该出版社一年的利润L最大,并求出L的最大值R(m). |
某市出租汽车的收费标准如下:在3km以内(含3km)的路程统一按起步价7元收费,超过3km以外的路程按2.4元/km收费.而出租汽车一次载客的运输成本包含以下三个部分:一是固定费用约为2.3元;二是燃油费,约为1.6元/km;三是折旧费,它与路程的平方近似成正比,且当路程为100km时,折旧费约为0.1元.现设一次载客的路程为xkm. (Ⅰ)试将出租汽车一次载客的收费F与成本C分别表示为x的函数; (Ⅱ)若一次载客的路程不少于2km,则当x取何值时,该市出租汽车一次载客每km的收益y(y=)取得最大值? |
最新试题
热门考点