已知(m为常数,m>0且m≠1).设(n∈)是首项为m2,公比为m的等比数列.(1)求证:数列是等差数列; (2)若,且数列的前n项和为Sn,当m=2时

已知(m为常数,m>0且m≠1).设(n∈)是首项为m2,公比为m的等比数列.(1)求证:数列是等差数列; (2)若,且数列的前n项和为Sn,当m=2时

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知(m为常数,m>0且m≠1).
(n∈)是首项为m2,公比为m的等比数列.
(1)求证:数列是等差数列;
(2)若,且数列的前n项和为Sn,当m=2时,求Sn
(3)若,问是否存在m,使得数列中每一项恒小于它后面的项?若存在,求出m的范围;若不存在,请说明理由.
答案

.解:(1)由题意f(an)=,即
∴an=n+1,(2分)      ∴an+1-an=1,
∴数列{an}是以2为首项,1为公差的等差数列.(4分)
(2)由题意=(n+1)·mn+1
当m=2时,bn=(n+1)·2n+1
∴Sn=2·22+3·23+4·24+…+(n+1)·2n+1 ①(6分)
①式两端同乘以2,得
2Sn=2·23+3·24+4·25+…+n·2n+1+(n+1)·2n+2 ②
②-①并整理,得
Sn=-2·22-23-24-25-…-2n+1+(n+1)·2n+2
=-22-(22+23+24+…+2n+1)+(n+1)·2n+2
=-22-+(n+1)·2n+2
=-22+22(1-2n)+(n+1)·2n+2=2n+2·n.(9分)
(3)由题意=mn+1·lgmn+1=(n+1)·mn+1·lgm,
要使cn<cn+1对一切n∈N*成立,
即(n+1)·mn+1·lgm<(n+2)·mn+2·lgm,对一切n∈N*成立,
①当m>1时,lgm>0,所以n+1<m(n+2)对一切n∈N*恒成立;
(11分)
②当0<m<1时,lgm<0,所以等价使得>m对一切n∈N*成立,
因为=1-的最小值为,所以0<m<.
综上,当0<m<或m>1时,数列{cn}中每一项恒小于它后面的项.
(14分)
解析

举一反三
已知x是函数f(x)=2x+ 的一个零点.若∈(1,),∈(,+),则
A.f()<0,f()<0B.f()<0,f()>0
C.f()>0,f()<0D.f()>0,f()>0

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设函数f(x)=ex(sinx-cosx)  (0≦x≦2012),则函数f(x)的各极小值之和为(  )
A.B.
C.D.

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已知,且,则
A.2或-2B.-2C.D.2

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函数,上的最大值与最小值之和为a,则a的值为
A.B.C.2D.4

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三个数..的大小顺序为(    )
A.B.C.D.

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