.解:(1)由题意f(an)=,即. ∴an=n+1,(2分) ∴an+1-an=1, ∴数列{an}是以2为首项,1为公差的等差数列.(4分) (2)由题意=(n+1)·mn+1, 当m=2时,bn=(n+1)·2n+1 ∴Sn=2·22+3·23+4·24+…+(n+1)·2n+1 ①(6分) ①式两端同乘以2,得 2Sn=2·23+3·24+4·25+…+n·2n+1+(n+1)·2n+2 ② ②-①并整理,得 Sn=-2·22-23-24-25-…-2n+1+(n+1)·2n+2 =-22-(22+23+24+…+2n+1)+(n+1)·2n+2 =-22-+(n+1)·2n+2 =-22+22(1-2n)+(n+1)·2n+2=2n+2·n.(9分) (3)由题意=mn+1·lgmn+1=(n+1)·mn+1·lgm, 要使cn<cn+1对一切n∈N*成立, 即(n+1)·mn+1·lgm<(n+2)·mn+2·lgm,对一切n∈N*成立, ①当m>1时,lgm>0,所以n+1<m(n+2)对一切n∈N*恒成立; (11分) ②当0<m<1时,lgm<0,所以等价使得>m对一切n∈N*成立, 因为=1-的最小值为,所以0<m<. 综上,当0<m<或m>1时,数列{cn}中每一项恒小于它后面的项. (14分) |