解:(1)由得-1<x<1,所以函数f(x)的定义域为(-1,1); (2") 因为f(-x)+f(x)=log2+log2=log2=log21=0, 所以f(-x)=-f(x),即f(x)是奇函数。 (4") (2)方程f(x)=log2(x-k)有实根,也就是方程=x-k即k=x-在(-1,1)内有解,所以实数k属于函数y=x-=x+1-在(-1,1)内的值域。 (6") 令x+1=t,则t∈(0,2),因为y=t-在(0,2)内单调递增,所以t-∈(-∞,1)。 故实数k的取值范围是(-∞,1)。 (8") (3)设g(x)=f(x)-x-1=log2-x-1(-1<x<1)。 因为,且y=log2x在区间(0,+∞)内单调递增,所以log2<log223,即4log2<3,亦即log2<。于是g(-)=log2-<0。 ① (10") 又∵g(-)=log2->1->0。 ② (12") 由①②可知,g(-)·g(-)<0,所以函数g(x)在区间(-,-)内有零点x0。 即方程f(x)=x+1在(-,-)内有实根x0。 (13") 又该区间长度为,因此,所求的一个区间可以是(-,-)。(答案不唯一) (14") 思路提示:用“二分法”逐步探求,先算区间(-1,1)的中点g(0)=-1<0(1"),由于g(x)在(-1,1)内单调递减,于是再算区间(-1,0)的中点g(-)=log23->0(2"),然后算区间(-,0)的中点 g(-)<0(3"),最后算区间(-,-)的中点g(-)>0(4")。 |