已知函数，，其中,设．(1)判断的奇偶性，并说明理由；(2)若，求使成立的x的集合．

题型：解答题难度：简单来源：不详

已知函数，，其中,设．
(1)判断的奇偶性，并说明理由；
(2)若，求使成立的x的集合．

答案

(1)奇函数
(2){x|0<x<1}

解析

(1)由对数的意义，分别得1＋x>0，1－x>0，即x>－1，x<1.
∴函数f(x)的定义域为(－1，＋∞)，函数g(x)的定义域为(－∞，1)，
∴函数h(x)的定义域为(－1,1)．……………………3分
∵对任意的x∈(－1,1)，－x∈(－1,1)，
h(－x)＝f(－x)－g(－x)
＝log_a(1－x)－log_a(1＋x)
＝g(x)－f(x)＝－h(x)，
∴h(x)是奇函数．           ………………………….6分
(2)由f(3)＝2，得a＝2.
此时h(x)＝log₂(1＋x)－log₂(1－x)，
由h(x)>0即log₂(1＋x)－log₂(1－x)>0，
∴log₂(1＋x)>log₂(1－x)．
由1＋x>1－x>0，解得0<x<1.
故使h(x)>0成立的x的集合是{x|0<x<1}．………………..12分