已知函数f(x)=lg(1+x)+lg(1-x)，(1)求函数f(x)的定义域； (2)判断函数f(x)的奇偶性； (3)若f(x)=lgg(x)，判断函数g(
题型：解答题难度：一般来源：期末题
已知函数f(x)=lg(1+x)+lg(1-x)，
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)的奇偶性；
(3)若f(x)=lgg(x)，判断函数g(x)在(0，1)内的单调性，并用定义证明． |
答案
解：(1)1+x＞0，1-x＞0，得-1＜x＜1，定义域为(-1，1)；
(2)定义域关于原点对称，对于任意的x∈(-1，1)，有-x∈(-1，1)，
f(-x)=lg(1-x)+lg(1+x)=f(x)，
∴f(x)为偶函数；
(3)f(x)=lg(1-x2)=lgg(x)，
∴g(x)=1-x2，
对于任意的0＜x1＜x2＜1，
我们有g(x1)-g(x2)=(1-x12)-(1-x22)=(x1+x2)(x2-x1)＞0，
∴g(x)在(0，1)内单调递减． |
举一反三
| 若函数f（x）=loga（x+1）（a＞0，且a≠1）的定义域和值域均为[0，1]，求a的值。 |
已知函数f（x）=loga（x+1），g（x）=loga（4-2x）（a>0，且a≠1）。
（1）求函数f（x）-g（x）的定义域；
（2）求使函数f（x）-g（x）的值为正数的x的取值范围。 |
已知函数f(x)=lg(ax-bx)，a＞1＞b＞0，
（1）求f(x)的定义域；
（2）在函数f(x)的图象上是否存在不同的两点，使过这两点的直线平行于x轴；
（3）当a，b满足什么条件时，f(x)在(1，+∞)上恒取正值。 |
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