已知函数f(x)=log122sin(x-π4).(1)求它的定义域,值域;(2)判定它的奇偶性和周期性;(3)判定它的单调区间及每一区间上的单调性.

已知函数f(x)=log122sin(x-π4).(1)求它的定义域,值域;(2)判定它的奇偶性和周期性;(3)判定它的单调区间及每一区间上的单调性.

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=log
1
2


2
sin(x-
π
4
)

(1)求它的定义域,值域;
(2)判定它的奇偶性和周期性;
(3)判定它的单调区间及每一区间上的单调性.
答案
(1)要使函数有意义,则


2
sin(x-
π
4
)>0
,解得2kπ<x-
π
4
<2kπ+π

2kπ+
π
4
<x<2kπ+
4

即函数的定义域为(2kπ+
π
4
,2kπ+
4
)

0<


2
sin⁡(x-
π
4
)≤1

∴函数f(x)=log
1
2


2
sin(x-
π
4
)
≥0,
即函数的值域为[0,+∞).
(2)∵函数的定义域关于原点不对称,∴函数为非奇非偶函数函数.
∵函数y=


2
sin⁡(x-
π
4
)
的周期是π,
∴函数f(x)=log
1
2


2
sin(x-
π
4
)
周期是π.
(3)∵y=


2
sin⁡(x-
π
4
)
的单调递增区间为(2kπ+
π
4
,2kπ+
4
]

∴根据复合函数的单调性可知此时函数f(x)=log
1
2


2
sin(x-
π
4
)
单调递减.
∵y=


2
sin⁡(x-
π
4
)
的单调递减区间为[2kπ+
4
2kπ+
4
)

∴根据复合函数的单调性可知此时函数f(x)=log
1
2


2
sin(x-
π
4
)
单调递增.
故函数的单调递增区间为为[2kπ+
4
2kπ+
4
)
,递减区间为为(2kπ+
π
4
,2kπ+
4
]
举一反三
函数y=x+a与函数y=logax的图象可能是(  )
A.B.C.D.
题型:单选题难度:简单| 查看答案
函数f(x)=log
1
2
(x2-6x+5)
在(a,+∞)上是减函数,则实数a的最小值是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
设0<x<y<a<1,则有(  )
A.loga(xy)<0B.loga(xy)>2C.1<loga(xy)<2D.0<loga(xy)<1
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知函数f(x)=lg
1+x
1-x
满足性质f(x)+f(y)=f(
x+y
1+xy
)
.若f(
a+b
1+ab
)=1
f(
a-b
1-ab
)=2
,且|a|=1,|b|<1,求f(a)、f(-b)的值.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
设函数f(x)=
2x+a
1+2x
(a∈R)是R上的奇函数.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)若m∈R+,且满足log
1+x
1-x
>log3
1+x
m
,求x的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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