已知函数f（x）=log5（a1-x-1）为奇函数．（I）求a的值；（II）求f（x）的定义域；（III）解不等式f（2x）＜f（4x+1）．

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=log₅（

a

1-x

-1）为奇函数．
（I）求a的值；
（II）求f（x）的定义域；
（III）解不等式f（2^x）＜f（4^x+1）．

答案

（I）因为函数f（x）=log₅（

a

1-x

-1）为奇函数，∴f（0）=log₅（a-1）=0，解得a=2．
（II）由（I）得f（x）=log5(

2

1-x

-1)，由解析式有意义得：

2 1-x -1＞0 1-x≠0

，解得-1＜x＜1，故函数的定义域为（-1，1）．
（III）由（I）和不等式f（2^x）＜f（4^x+1） 及f（x）在定义域上是增函数得

-1＜2x＜1 -1＜4x+1＜1 2x＜4x+1

，解得-2＜x＜-1，
从而不等式f（2^x）＜f（4^x+1）的解集是 （-2，-1）．