已知函数f(x)=()x,函数y=f-1(x)是函数y=f(x)的反函数.(1)若函数y=f-1(mx2+mx+1)的定义域为R,求实数m的取值范围;(2)当x
题型:解答题难度:简单来源:不详
已知函数f(x)=()x, 函数y=f-1(x)是函数y=f(x)的反函数. (1)若函数y=f-1(mx2+mx+1)的定义域为R,求实数m的取值范围; (2)当x∈[-1,1]时,求函数y=[f(x)]2-2af(x)+3的最小值g(a); (3)是否存在实数m>n>3,使得g(x)的定义域为[n,m],值域为[n2,m2]?若存在,求出m、n的值;若不存在,请说明理由 |
答案
(1)∵f-1(x) =logx(x>0), ∴f-1(mx2+mx+1) =log(mx2+mx+1),由题知,mx2+mx+1>0恒成立, ∴①当m=0时,1>0满足题意; ②当m≠0时, 应有 ⇒0<m<4, ∴实数m的取值范围为 0≤m<4. (2)∵x∈[-1,1], ∴()x∈[,3], y=[f(x)]2-2af(x)+3 =[()x]2-2a()x+3 =[()x-a]2+3-a2, 当a<时, ymin=g(a)=-; 当≤a≤3时, ymin=g(a)=3-a2; 当a>3时,ymin=g(a) =12-6a. ∴g(a) = (3)∵m>n>3,且g(x)=12-6x在(3,+∞)上是减函数. 又g(x)的定义域为[n,m],值域为[n2,m2]. ∴ ②-①得:6(m-n)=(m+n)(m-n) ∵m>n>3,∴m+n=6.但这与“m>n>3”矛盾. ∴满足题意的m、n不存在. |
解析
略 |
举一反三
若则的值为( ) |
已知f(x)=3x-b(2≤x≤4,b为常数)的图象经过点(2,1),则F(x)=[f-1(x)]2-f-1(x2)的值域为A.[2,5] | B.[1,+∞) | C.[2,10] | D.[2,13] |
|
函数图象的对称中心的坐标为 . |
已知函数,则 |
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