已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AP=AD=1,AB=2,E、F分别是AB、PD的中点.(1)求证:AF∥平面PEC;(2)求

已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AP=AD=1,AB=2,E、F分别是AB、PD的中点.(1)求证:AF∥平面PEC;(2)求

题型:不详难度:来源:
已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AP=AD=1,AB=2,E、F分别是AB、PD的中点.
(1)求证:AF平面PEC;
(2)求二面角P-EC-D的大小.
答案
解法一:(1)证明:取PC的中点O,连结OF、OE.
∴FODC,且FO=
1
2
DC

∴FOAE.
又∵E是AB的中点,且AB=DC,
∴FO=AE.
∴四边形AEOF是平行四边形,∴AFOE.…(5分)
又OE⊂平面PEC,AF⊄平面PEC,
∴AF平面PEC.…(7分)
(2)作AM⊥CE,交CE延长线于M,连结PM.
由三垂线定理,得PM⊥CE.
∴∠PMA是二面角P-EC-D的平面角.…(11分)
由△AME~△CBE,可得AM=


2
2

tan∠PMA=
1


2
2
=


2

∴二面角P-EC-D的大小为arctan


2
.…(14分)
解法二:以A为原点,如图建立直角坐标系.则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,1,0),D(0,1,0),P(0,0,1),F(0,
1
2
1
2
)
,E(1,0,0),….(2分)
(1)证明:取PC的中点O,连结OE.则O(1,
1
2
1
2
)


AF
=(0,
1
2
1
2
),


EO
=(0,
1
2
1
2
)
,∴


AF


EO
.…(5分)
又OE⊂平面PEC,AF⊄平面PEC,∴AF平面PEC.…(7分)
(2)设平面PEC的法向量为


m
=(x,y,z).


PE
=(1,0,-1),


EC
=(1,1,0)

∴由







m


PE
=0


m


EC
=0
,可得





x-z=0
x+y=0.

令z=-1,则


m
=(-1,1,-1).…(11分)
由题意可得平面ABCD的法向量是


PA
=(0,0,-1)

cos<


m


PA
>=


m


PA
|


m
||


PA
|
=
1


3
=


3
3

∴二面角P-EC-D的大小为arccos


3
3
.…(14分)
举一反三
如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC位于矩形AEDC中,B点为ED的中点,AC=AA1=2AE=2.
(1)求异面直线AB1与A1D所成角的余弦值;
(2)求平面A1B1E与平面AEDC所成二面角大小的余弦值.
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已知如图,平面ABD⊥平面BCD,∠BAD=∠BCD=90°,∠ABD=45°,∠CBD=30°.
(Ⅰ)异面直线AB、CD所成的角为α,异面直线AC、BD所成的角为β,求证:α=β;
(Ⅱ)求二面角B-AC-D的余弦值的绝对值.
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如图,在三棱锥P-ABC中,PA=PB=AB=2,BC=3,∠ABC=90°,平面PAB⊥平面ABC,D、E分别为AB、AC中点.
(1)求证:DE平面PBC;
(2)求证:AB⊥PE;
(3)求二面角A-PB-E的大小.
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如图,在长方体AC1中,AB=BC=2,AA1=


2
,点E、F分别是面A1C1、面BC1的中心.
(1)求异面直线AF和BE所成的角;
(2)求直线AF和平面BEC所成角的余弦值.
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已知二面角α-l-β,点A∈α,B∈β,AC⊥l于点C,BD⊥l于D,且AC=CD=DB=1,求证:AB=2的充要条件α-l-β=1200
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