已知二面角α-l-β，点A∈α，B∈β，AC⊥l于点C，BD⊥l于D，且AC=CD=DB=1，求证：AB=2的充要条件α-l-β=1200．

题型：不详难度：来源：

已知二面角α-l-β，点A∈α，B∈β，AC⊥l于点C，BD⊥l于D，且AC=CD=DB=1，求证：AB=2的充要条件α-l-β=120⁰．

答案

证明：充分性：
设

AC

=

a

，

CD

=

b

，

DB

=

c

，
∵AC=CD=DB=1，
∴|

a

|=|

b

|=|

c

|=1，
又∵AC⊥l于点C，BD⊥l于D
∴＜

a

，

b

＞=＜

b

，

c

＞=90°，＜

a

，

c

＞=60°，
∴

a

2=

b

2=

c

2=1，

a

b

=

b

c

=0，

a

c

=

1

2

∴|

AB

|=

( a + b + c )2

=

a 2+ b 2+ c 2+2 a b +2 b c +2 a c

=2，
必要性：∵|

AB

|=

( a + b + c )2

=

a 2+ b 2+ c 2+2 a b +2 b c +2 a c

=2
又

a

2=

b

2=

c

2=1，

a

b

=

b

c

=0，
∴2

a

c

=1
∴＜

a，

c

＞=60°
即α-l-β=120°