已知在长方体ABCD-A′B′C′D′中，点E为棱CC′上任意一点，AB=BC=2，CC′=1．（Ⅰ）求证：平面ACC′A′⊥平面BDE；（Ⅱ）若点P为棱C′D

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已知在长方体ABCD-A′B′C′D′中，点E为棱CC′上任意一点，AB=BC=2，CC′=1．
（Ⅰ）求证：平面ACC′A′⊥平面BDE；
（Ⅱ）若点P为棱C′D′的中点，点E为棱CC′的中点，求二面角P-BD-E的余弦值．

答案

（Ⅰ）∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，
∵CC"⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥CC"．
又∵CC"∩AC=C，∴BD⊥平面ACC"A"．
∵BD⊂平面BDE，
∴平面BDE⊥平面ACC"A"，即平面ACC′A′⊥平面BDE；
（Ⅱ）建立分别以DA、DC、DD"为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
可得D（0，0，0），B（2，2，0），E（0，2，

1

2

），P（0，1，1）．
设平面BDE的一个法向量为

m

=(x，y，z)，
∵

DB

=(2，2，0)，

DE

=(0，2，

1

2

)，
∴

m • DB =2x+2y=0 m • DE =2y+ 1 2 z=0

，取x=1，得y=-1且z=4．
可得

m

=(1，-1，4)；
设平面PBD的一个法向量为

n

=(m，n，p)，
∵

DP

=(0，1，1)，∴

n • DB =2m+2n=0 n • DP =n+p=0

取m=1，得n=-1且p=1，可得

n

=(1，-1，1)．
∵cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

6

3

，且二面角P-BD-E是锐二面角，
∴二面角P-BD-E的余弦值为

6

3

．