如图,ABCD是边长为2的正方形,DE⊥平面ABCD,AF∥DE,DE=3AF=3.(1)求证:AC⊥平面BDE;(2)求直线AB与平面BEF所成的角的正弦值;

如图,ABCD是边长为2的正方形,DE⊥平面ABCD,AF∥DE,DE=3AF=3.(1)求证:AC⊥平面BDE;(2)求直线AB与平面BEF所成的角的正弦值;

题型:不详难度:来源:
如图,ABCD是边长为2的正方形,DE⊥平面ABCD,AFDE,DE=3AF=3.
(1)求证:AC⊥平面BDE;
(2)求直线AB与平面BEF所成的角的正弦值;
(3)线段BD上是否存在点M,使得AM平面BEF?若存在,试确定点M的位置;若不存在,说明理由.
答案
(1)证明:∵DE⊥平面ABCD,
∴DE⊥AC.…2分
∵ABCD是正方形,
∴AC⊥BD,
又BD∩DE=D
从而AC⊥平面BDE.…4分
(2)∵DA,DC,DE两两垂直,
∴以D为坐标原点,以DA为x轴,以DC为y轴,以DE为z轴,
建立空间直角坐标系D-xyz如图所示.
∵DE=3,由AFDE,DE=3AF=3
得AF=1.…6分
则A(2,0,0),F(2,0,1),E(0,0,3),B(2,2,0),∴


BF
=(0,-2,1),


EF
=(2,0,-2)
…7分
设平面BEF的法向量为


n
=(x,y,z)








n


BF
=0


n


EF
=0






-2y+z=0
2x-2z=0
,令z=2,则


n
=(2,1,2)
.…8分


AB
=(0,2,0)

∴直线AB与平面BEF所成的角θ满足sinθ=|cos<


n


AB
>|=
|


n


AB
|
|


n
||


AB
|
=
2
2×3
=
1
3
…10分
(3)点M是线段BD上一个点,设M(t,t,0),


AM
=(t-2,t,0)

∵AM平面BEF,


AM


n
=0,…11分
即2(t-2)+t=0,解得t=
4
3
.…12分
此时,点M坐标为(
4
3
4
3
,0)
.…13分.
举一反三
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AC=AA1=2


3
,∠ABC=
π
3

(1)证明:AB⊥A1C;
(2)求二面角A-A1C-B的正弦值.
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如图,已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=1,AB=2,F是PD的中点,E是线段AB上的点.
(Ⅰ)当E是AB的中点时,求证:AF平面PEC;
(Ⅱ)要使二面角P-EC-D的大小为45°,试确定E点的位置.
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如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中AA1=AD=1,E为CD中点.
(Ⅰ)求证:B1E⊥AD1
(Ⅱ)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP平面B1AE?若存在,求AP的长;若不存在,说明理由.
(Ⅲ)若二面角A-B1E-A1的大小为30°,求AB的长.
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如图,在三棱锥P-ABC中,已知PC⊥平面ABC,点C在平面PBA内的射影D在直线PB上.
(1)求证:AB⊥平面PBC;
(2)设AB=BC,直线PA与平面ABC所成的角为45°,求异面直线AP与BC所成的角;
(3)在(2)的条件下,求二面角C-PA-B的余弦值.
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在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中点,AB=AC=1,PA=2,则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为(  )
A.
1
5
B.
2
5
C.


5
5
D.
2


5
5
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