在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中点,AB=AC=1,PA=2,则直线PA与平面DEF所成角的正弦
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在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中点,AB=AC=1,PA=2,则直线PA与平面DEF所成角的正弦
题型:不详
难度:
来源:
在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中点,AB=AC=1,PA=2,则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为( )
A.
1
5
B.
2
5
C.
5
5
D.
2
5
5
答案
以A为坐标原点,以AB为x轴,以AC为y轴,以AP为z轴,
建立如图所示的空间直角坐标系,
∵PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中点,
AB=AC=1,PA=2,
∴A(0,0,0),B(1,0,0),P(0,0,2),
D(
1
2
,0,0),E(
1
2
,
1
2
,0
),F(0,
1
2
,1),
∴
AP
=(0,0,2),
DE
=(0,
1
2
,0),
DF
=(-
1
2
,
1
2
,1)
,
设
n
=(x,y,z)
是平面DEF的一个法向量,
则
n
•
DE
=0
n
•
DF
=0
,即
1
2
y=0
-
1
2
x+
1
2
y+z=0
,
取x=1,则
n
=(1,0,
1
2
)
,
设PA与平面DEF所成的角为θ,
则 sinθ=|cos<
AP
,
n
>|=|
1
2×
1+
1
4
|=
5
5
.
故选:C.
举一反三
在正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,E是AD的中点,则异面直线C
1
E与BC所成的角的余弦值是( )
A.
10
5
B.
10
10
C.
1
3
D.
2
2
3
题型:不详
难度:
|
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在长方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,已知AB=4,AD=3,AA
1
=2.E、F分别是线段AB、BC上的点,且EB=FB=1.
( I)求二面角C-DE-C
1
的正切值;( II)求直线EC
1
与FD
1
所成的余弦值.
题型:不详
难度:
|
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如图直角梯形OABC中,∠COA=∠AOB=90°,OC=2,OA=AB=1,SO⊥平面OABC,SO=1,分别以OC,OA,OS为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系O-xyz.
(Ⅰ)求
SC
与
OB
夹角的余弦值;
(Ⅱ)求OC与平面SBC夹角的正弦值;
(Ⅲ)求二面角S-BC-O.
题型:不详
难度:
|
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如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=a,点P在边AB上,设
AP
=λ
PB
(λ>0),过点P作PE
∥
BC交AC于E,作PF
∥
AC交BC于F.沿PE将△APE翻折成△A′PE使平面A′PE⊥平面ABC;沿PE将△BPF翻折成△B′PF,使平面B′PF⊥平面ABC.
(1)求证:B′C
∥
平面A′PE;
(2)是否存在正实数λ,使得二面角C-A′B′-P的大小为90°?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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如图,四面体ABCD中,O是BD的中点,△ABD和△BCD均为等边三角形,
AB=2,AC=
6
.
(I)求证:AO⊥平面BCD;
(Ⅱ)求二面角A-BC-D的余弦值;
(Ⅲ)求O点到平面ACD的距离.
题型:不详
难度:
|
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