如图直角梯形OABC中，∠COA=∠AOB=90°，OC=2，OA=AB=1，SO⊥平面OABC，SO=1，分别以OC，OA，OS为x轴、y轴、z轴建立直角坐标

题型：不详难度：来源：

如图直角梯形OABC中，∠COA=∠AOB=90°，OC=2，OA=AB=1，SO⊥平面OABC，SO=1，分别以OC，OA，OS为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系O-xyz．
（Ⅰ）求

与

夹角的余弦值；
（Ⅱ）求OC与平面SBC夹角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角S-BC-O．

答案

（Ⅰ）如图所示：C（2，0，0），S（0，0，1），O（0，0，0），B（1，1，0）．
∴

=（2，0，-1），

=（1，1，0），
∴cos＜

，

＞=

•

．
∴

与

夹角的余弦值为

．…（3分）
（Ⅱ）设平面SBC的法向量

=（1，p，q），
∵

=（2，0，-1），

=（-1，1，0），
∴

2-q=0

-1+p=0

，∴

p=1

q=2

，
∴

=（1，1，2），…（6分）
又∵

=（2，0，0），
∴cos＜

，

＞=

•

×2

∴OC与平面SBC夹角的正弦值为

；…（8分）
（Ⅲ）∵SO⊥平面OABC，∴

=（0，0，1）为平面OABC的法向量．
又∵平面SBC的法向量

=（1，1，2），
∴cos＜

，

＞=

•

．
∴二面角S-BC-O的余弦值为

．…（12分）

举一反三

如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=a，点P在边AB上，设

=λ

（λ＞0），过点P作PE∥BC交AC于E，作PF∥AC交BC于F．沿PE将△APE翻折成△A′PE使平面A′PE⊥平面ABC；沿PE将△BPF翻折成△B′PF，使平面B′PF⊥平面ABC．
（1）求证：B′C∥平面A′PE；
（2）是否存在正实数λ，使得二面角C-A′B′-P的大小为90°？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．