(Ⅰ)连接B1C交BC1于点P,连接PQ. 因为直线AB1∥平面BC1Q,AB1⊂平面AB1C,平面BC1Q∩平面AB1C=PQ, 所以AB1∥PQ. 因为P为B1C的中点,且AB1∥PQ, 所以,Q为AC的中点. (II)如图建立空间直角坐标系,设AB=BC=a,BB1=b,则平面BC1C的法向量=(1,0,0). B(0,0,0),C1(0,a,b),Q(a,a,0), ∴=(0,a,b),=(-a,a,b). ∵QC1与平面BC1C所成角的正弦值为, ∴=|cos<,>|==,化为3a2=4b2,取b=a. 设平面C1BQ的法向量为=(x,y,z),则,即,及b=a. 令x=1,解得y=-,z=2,∴=(1,-,2). ∴cos<,>===. 故二面角Q-BC1-C的余弦值为.
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