(1)证明:∵△ABC是正三角形,M是AC中点, ∴BM⊥AC,即BD⊥AC. 又∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BD. 又PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC. ∴BD⊥PC. (2)取DC中点G,连接FG,则EG∥平面PAD,
∵直线EF∥平面PAD,EF∩EG=E, ∴平面EFG∥平面PAD, ∵FG⊂平面EFG, ∴FG∥平面PAD ∵M为AC中点,DM⊥AC, ∴AD=CD. ∵∠ADC=120°,AB=4, ∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°,AD=CD=, ∵∠DGF=60°,DG=,∴AF=1 (3)分别以AB,AD,AP为x轴,y轴,z轴建立如图的空间直角坐标系,
∴B(4,0,0),C(2,2,0),D(0,,0),P(0,0,4). =(4,-,0)为平面PAC的法向量. 设平面PBC的一个法向量为=(x,y,z),则 ∵=(2,2,-4),=(4,0,-4), ∴, 令z=3,得x=3,y=,则平面PBC的一个法向量为=(3,,3), 设二面角A-PC-B的大小为θ,则cosθ==. ∴二面角A-PC-B余弦值为. |