在如图所示的几何体中,四边形ABCD是菱形,ADNM是矩形,平面ADNM⊥平面ABCD,∠DAB=60°,AD=2,AM=1,E为AB的中点.(Ⅰ)求证:AN∥

在如图所示的几何体中,四边形ABCD是菱形,ADNM是矩形,平面ADNM⊥平面ABCD,∠DAB=60°,AD=2,AM=1,E为AB的中点.(Ⅰ)求证:AN∥

题型:不详难度:来源:
在如图所示的几何体中,四边形ABCD是菱形,ADNM是矩形,平面ADNM⊥平面ABCD,∠DAB=60°,AD=2,AM=1,E为AB的中点.
(Ⅰ)求证:AN平面MEC;
(Ⅱ)在线段AM上是否存在点P,使二面角P-EC-D的大小为
π
6
?若存在,求出AP的长h;若不存在,请说明理由.
答案
(I)CM与BN交于F,连接EF.
由已知可得四边形BCNM是平行四边形,
所以F是BN的中点.
因为E是AB的中点,
所以ANEF.…(7分)
又EF⊂平面MEC,AN⊄平面MEC,
所以AN平面MEC.…(9分)
(II)由于四边形ABCD是菱形,E是AB的中点,可得DE⊥AB.
又四边形ADNM是矩形,面ADNM⊥面ABCD,∴DN⊥面ABCD,
如图建立空间直角坐标系D-xyz,则D(0,0,0),E(


3
,0,0),C(0,2,0),P(


3
,-1,h),


CE
=(


3
,-2,0),


EP
=(0,-1,h),设平面PEC的法向量为


n1
=(x,y,z).







CE


n1
=0


EP


n1
=0
,∴







3
x-2y=0
-y+hz=0

令y=


3
h,∴


n1
=(2h,


3
h,


3
),又平面ADE的法向量


n2
=(0,0,1),
∴cos<


n1


n2
>=


n1


n2
|


n1
||


n2
|
=


3


7h2+3
=


3
2
,解得h=


7
7

∴在线段AM上是否存在点P,当h=


7
7
时使二面角P-EC-D的大小为
π
6

举一反三
如图所示,正方形AA1D1D与矩形ABCD所在平面互相垂直,AB=2AD=2,点E为AB的中点.
(1)求证:BD1平面A1DE;
(2)求证:D1E⊥A1D;
(3)在线段AB上是否存在点E,使二面角D1-EC-D的大小为
π
6
?若存在,求出AE的长;若不存在,请说明理由.
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如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点,则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是(  )
A.


15
5
B.


2
2
C.


10
5
D.0

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如图,PDCE为矩形,ABCD为梯形,平面PDCE⊥平面ABCD,∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=
1
2
CD=a,PD=


2
a.
(1)若M为PA中点,求证:AC平面MDE;
(2)求平面PAD与PBC所成锐二面角的大小(理);
求二面角P-AC-D的正切值的大小(文).
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如图,在三棱柱A1B1C1-ABC中,A1A⊥平面ABC,A1A=AB=AC,AB⊥AC,点D是BC上一点,且AD⊥C1D.
(1)求证:平面ADC1⊥平面BCC1B1
(2)求证:A1B平面ADC1
(3)求二面角C-AC1-D大小的余弦值.
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如图,在底面是正方形的四棱锥P-ABCD中,PA=AB=1,PB=PD=


2
,点E在PD上,且PE:ED=2:1.
(1)求证:PA⊥平面ABCD;
(2)求二面角D-AC-E的余弦值;
(3)在棱PC上是否存在一点F,使得BF平面ACE.
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