建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz, 则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0), P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),G(1,2,0). (1)证明:∵=(0,1,0),=(0,0,2),=(2,0,0), ∴•=0×0+1×0+0×2=0,•=0×2+1×0+0×0=0, ∴EF⊥AP,EF⊥AB. 又∵AP、AB⊂面PAB,且PA∩AB=A, ∴EF⊥平面PAB. 又EF⊂面EFG,∴平面EFG⊥平面PAB. (2)∵=(1,2,-1),=(-2,2,0), ∴cos<,>===, (3)设平面EFC的法向量=(x,y,z), 则 | •=(x,y,z)•(0,1,0)=0 | •=(x,y,z)•(1,2,-1)=0 |
| | ∴ 令z=0,得=(1,0,1). 又=(0,0,1), ∴点A到平现EFG的距离d=||=||=.
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