解法一: (I)证明:如图,取PC的中点O,连接OF,OE. 由已知得OF∥DC且OF=DC, 又∵E是AB的中点,则OF∥AE且OF=AE, ∴AEOF是平行四边形, ∴AF∥OE 又∵OE⊂平面PEC,AF⊄平面PEC ∴AF∥平面PEC. (II)如图,作AM⊥CE交CE的延长线于M. 连接PM,由三垂线定理得PM⊥CE, ∴∠PMA是二面角P-EC-D的平面角. ∴∠PMA=45°, ∵PA=1,∴AM=1, 设AE=x, 由△AME≌△CBE,得x=,解得x=, 故要使二面角P-EC-D的大小为45°,只需AE=. 解法二: (I)证明:由已知,AB,AD,AP两两垂直, 分别以它们所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系A-xyz. 则A(0,0,0),F(0,,), ∴=(0,,), ∵E(1,0,0),C(2,1,0),P(0,0,1), 设平面PEC的法向量为=(x,y,z) 则⇒,令x=1得=(1,-1,1), 由•=(0,,)•(1,-1,1)=0,得⊥, 又AF⊄平面PEC,故AF∥平面PEC. (II)由已知可得平面DEC的一个法向量为=(0,0,1), 设E=(t,0,0),设平面PEC的法向量为=(x,y,z) 则⇒,令x=1得=(1,t-2,t), 由cos45o=||⇒t=, 故,要使要使二面角P-EC-D的大小为45°,只需AE=.
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