如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AC=AA1=23,∠ABC=π3.(1)证明:AB⊥A1C;(2)求二面角A-A1C-B的正弦值.
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如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AC=AA1=23,∠ABC=π3.(1)证明:AB⊥A1C;(2)求二面角A-A1C-B的正弦值.
题型:不详
难度:
来源:
如图,在直三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中,AB=2,AC=AA
1
=2
3
,∠ABC=
π
3
.
(1)证明:AB⊥A
1
C;
(2)求二面角A-A
1
C-B的正弦值.
答案
(1)证明:在△ABC中,由正弦定理可求得
sin∠ACB=
1
2
⇒∠ACB=
π
6
∴AB⊥AC
以A为原点,分别以AB、AC、AA
1
为
x、y、z轴,建立空间直角坐标系,如图
则A(0,0,0)
A
1
(0,0,2
3
)
B(2,0,0)
C(0,2
3
,0)
AB
=(2,0,0)
A
1
C
=(0,2
3
,-2
3
)
AB
•
A
1
C
=0⇒
AB
⊥
A
1
C
即AB⊥A
1
C.
(2)由(1)知
A
1
B
=(2,0,-2
3
)
设二面角A-A
1
C-B的平面角为α,
cosα=cos<
n
,
m
>=
n
•
m
|
n
||
m
|
=
2
3
2×
5
=
15
5
∴
sinα=
1-
cos
2
α
=
10
5
举一反三
如图,已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=1,AB=2,F是PD的中点,E是线段AB上的点.
(Ⅰ)当E是AB的中点时,求证:AF
∥
平面PEC;
(Ⅱ)要使二面角P-EC-D的大小为45°,试确定E点的位置.
题型:不详
难度:
|
查看答案
如图,在长方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中AA
1
=AD=1,E为CD中点.
(Ⅰ)求证:B
1
E⊥AD
1
;
(Ⅱ)在棱AA
1
上是否存在一点P,使得DP
∥
平面B
1
AE?若存在,求AP的长;若不存在,说明理由.
(Ⅲ)若二面角A-B
1
E-A
1
的大小为30°,求AB的长.
题型:不详
难度:
|
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如图,在三棱锥P-ABC中,已知PC⊥平面ABC,点C在平面PBA内的射影D在直线PB上.
(1)求证:AB⊥平面PBC;
(2)设AB=BC,直线PA与平面ABC所成的角为45°,求异面直线AP与BC所成的角;
(3)在(2)的条件下,求二面角C-PA-B的余弦值.
题型:不详
难度:
|
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在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中点,AB=AC=1,PA=2,则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为( )
A.
1
5
B.
2
5
C.
5
5
D.
2
5
5
题型:不详
难度:
|
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在正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,E是AD的中点,则异面直线C
1
E与BC所成的角的余弦值是( )
A.
10
5
B.
10
10
C.
1
3
D.
2
2
3
题型:不详
难度:
|
查看答案
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