对于数列A:a1,a2,a3(ai∈N,i=1,2,3),定义“T变换”:T将数列A变换成数列B:b1,b2,b3,其中bi=|ai-ai+1|(i=1,2),
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对于数列A:a1,a2,a3(ai∈N,i=1,2,3),定义“T变换”:T将数列A变换成数列B:b1,b2,b3,其中bi=|ai-ai+1|(i=1,2),且b3=|a3-a1|.这种“T变换”记作B=T(A),继续对数列B进行“T变换”,得到数列C:cl,c2,c3,依此类推,当得到的数列各项均为0时变换结束. (Ⅰ)写出数列A:2,6,4经过5次“T变换”后得到的数列; (Ⅱ)若a1,a2,a3不全相等,判断数列A:a1,a2,a3经过不断的“T变换”是否会结束,并说明理由; (Ⅲ)设数列A:400,2,403经过k次“T变换”得到的数列各项之和最小,求k的最小值. |
答案
(Ⅰ)依题意,5次变换后得到的数列依次为 4,2,2;2,0,2;2,2,0;0,2,2;2,0,2…(3分) 所以,数列A:2,6,4经过5次“T变换”后得到的数列为2,0,2,…(4分) (Ⅱ)数列A经过不断的“T变换”不可能结束 设数列D:d1,d2,d3,E:e1,e2,e3,F:O,0,0,且T(D)=E,T(E)=F 依题意|e1-e2|=0,|e2-e3|=0,|e3-e1|=0,所以e1=e2=e3 即非零常数列才能通过“T变换”结束.…①…(6分) 设e1=e2=e3=e(e为非零自然数). 为变换得到数列E的前两项,数列D只有四种可能 D:d1,d1+e,d1+2e,D:d1,d1+e,d1;D:d1,d1-e,d1,D:d1,d1-e,d1-2e; 而任何一种可能中,数列E的笫三项是O或2e. 即不存在数列D,使得其经过“T变换”成为非零常数列.…②…(8分) 由①②得,数列A经过不断的“T变换”不可能结束. (Ⅲ)数列A经过一次“T变换”后得到数列B:398,401,3,其结构为a,a+3,3. 数列B经过6次“T变换”得到的数列分别为:3,a,a-3;a-3,3,a-6:a-6,a-9,3;3,a-12,a-9;a-15,3,a-12;a-18,a-15,3. 所以,经过6次“T变换”后得到的数列也是形如“a,a+3,3”的数列,变化的是,除了3之外的两项均减小18. …(10分) 因为398=18×22+2,所以,数列B经过6×22=132次“T变换”后得到的数列为2,5,3. 接下来经过“T变换”后得到的数列分别为:3,2,1;1,1,2;0,1,1;1,0,1;1,1,0;0,1,1;1,0,1,…. 至此,数列和的最小值为2,以后数列循环出现,数列各项和不会更小.…(12分) 所以经过1+132+3=136次“T变换”得到的数列各项和达到最小, 即k的最小值为136. …(13分) |
举一反三
已知数列{an}中,a1=-,an+1-an=(n∈N*) (Ⅰ)求a2、a3的值; (Ⅱ)求an; (Ⅲ)设bn=(1+2+3+…+n)an,求bn的最小值. |
已知Sn=+++…+.若Sm=9,则m=______. |
已知数列{an}的前n项为和Sn,点(n,)在直线y=x+上.数列{bn}满足bn+2-2bn+1+bn=0(n∈N*),且b3=11,前9项和为153. (Ⅰ)求数列{an}、{bn}的通项公式; (Ⅱ)设cn=,数列{cn}的前n和为Tn,求使不等式Tn>对一切n∈N*都成立的最大正整数k的值. (Ⅲ)设f(n)= | an(n=2l-1,l∈N*) | bn(n=2,l∈N*). |
| | 是否存在m∈N*,使得f(m+15)=5f(m)成立?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由. |
已知数列{an}的前n项和Sn=1-nan(n∈N*). (1)计算a1,a2,a3,a4; (2)猜想an的表达式,并用数学归纳法证明你的结论. |
已知数列{an} 的前n项和为Sn,且Sn=2an-2,(n=1,2,3,…);数列 {bn}中,b1=1,点p(bn,bn+1)在直线x-y+2=0上. (Ⅰ)求数列{an} 和 {bn}的通项公式; (Ⅱ)设数列{}的前n和为Sn,求++…+; (Ⅲ)设数列{cn}的前n项和为Tn,且cn=an•bn,求Tn. |
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